Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier. Dies ist ein Glossar von einigen die in dem Bereich der Mathematik vorkommen der als Topologie bekannt ist.
Dieses Glossar besteht aus zwei Teilen. erste Teil beschäftigt sich mit allgemeinen Konzepten der zweite Teil erklärt Typen von topologischen Räumen . Alle Räume in diesem Glossar werden topologische Räume angenommen.
Eine Funktion von einem Raum auf anderen ist stetig wenn das Urbild jeder offenen Menge ist.
Homöomorph
Zwei Räume X und Y sind homöomorph falls es eine bijektive Abbildung f : X -> Y gibt so dass f und f - 1 stetig sind. Vom Standpunkt der Topologie sind X and Y gleich. Die Funktion f wird Homöomorphismus genannt.
Abschluss
Der Abschluss einer Teilmenge M eines Raumes R ist die Schnittmenge aller abgeschlossenen Mengen R die M enthalten. Der Abschluss ist die kleinste Menge die die ursprüngliche Menge enthält.
Innerer Kern
Der innere Kern einer Teilmenge M des Raumes R ist die Vereinigung aller offenen Mengen R die in M enthalten sind. Er ist die größte Menge die in der ursprünglichen Menge enthalten
Rand
Der Rand einer Menge ist der der Menge minus ihrem inneren Kern.
Dicht
Eine dichte Menge ist eine Menge Abschluss der ganze Raum ist.
Nirgends dicht
Eine nirgends dichte Menge ist eine deren Abschluss einen leeren inneren Kern hat.
Umgebung
Eine Umgebung einer Menge S ist eine Menge die eine offene enthält die wiederum die Menge S enhält. Eine Umgebung eines Punktes p ist eine Umgebung der einelementigen Menge {p} .
Subbasis
Ein System von offenen Mengen ist Unter-Basis einer Topologie falls jede offene Menge Vereinigung von endlichen Schnitten von Mengen in Unter-Basis ist.
Basis
Ein System von offenen Mengen ist Basis einer Topologie falls jede offene Menge Vereinigung von Mengen der Basis ist.
Umgebungsbasis
Ein System B von Umgebungen eines Punktes x aus einem topologischen Raum X ist eine lokale Basis auf x falls jede Umgebung von x ein Element von B enthält.
Lokal endlich
Ein System von Teilmengen eines Raumes lokal endlich falls jeder Punkt eine Umgebung die nur endlich viele der Teilmengen berührt.
Überdeckung
Ein System { U i } von Mengen ist eine Überdeckung falls Vereinigung der ganze Raum ist. Eine offene Überdeckung ist eine Überdeckung { U i } in der jedes U i eine offene Menge ist.
Teilüberdeckung
Eine Überdeckung K ist eine Teilüberdeckung einer Überdeckung L falls jedes Element von K auch ein Element von L ist.
Verfeinerung
Eine Überdeckung K ist ist eine Verfeinerung einer Überdeckung L falls jedes Element von K eine Teilmenge eines Elementes von L ist.
Durch Funktionen trennbar
Zwei Mengen A und B in einem Raum sind durch Funktionen getrennt falls es eine stetige Funktion von Raum auf das Intervall [0 1] gibt der Eigenschaft dass A auf 0 abgebildet wird und B auf 1.
Eine Zerlegung der Eins (oder Unterteilung Einheit) ist eine Menge von stetigen Funktionen einem Raum auf [0 1] so dass beliebige Punkt eine Umgebung hat wo alle einer endlichen Anzahl gleich Null sind und Summe aller in jedem Punkt 1.
Homotope Abbildungen
Zwei stetige Abbildungen f g : X -> Y sind homotop falls es eine stetige H : X × [0 1] -> Y gibt so dass H ( x 0) = f ( x ) und H ( x 1) = g ( x ) für alle x aus X . Die Funktion H wird eine Homotopie zwischen f und g genannt.
Topologische Räume können klassifiziert werden unter des Grades in dem ihre Punkte getrennt unter Berücksichtigung ihrer Kompaktheit ihrer gesamten Größe und ihres Zusammenhangs.
Für eine detaillierte Behandlung siehe Trennungsaxiom . Einige dieser Begriffe werden in älterer Literatur anders definiert; siehe Geschichte der Trennungsaxiome.
Kolmogoroff oder T 0
Ein Raum ist T 0 falls es zu jedem Paar von Punkten in dem Raum eine offene Menge die einen Punkt enthält jedoch nicht den Verschiedene Punkte haben also verschiedene Umgebungsfilter.
T 1
Ein Raum ist T 1 falls jede einelementige Teilmenge (engl. singleton ) abgeschlossen ist. T 1 Räume sind immer T 0 .
Hausdorff oder T 2
Ein Raum ist Hausdorff falls jedes Paar von unterschiedlichen Punkten Umgebungen besitzt. Hausdorff-Räume sind immer T 1 .
Regulär
Ein Raum ist regulär falls für abgeschlossenen Mengen C und Punkte p nicht in C C und p disjunkte Umgebungen besitzen. Reguläre T 0 Räume sind immer Hausdorffsch.
Tychonoff
Ein Hausdorff-Raum ist Tychonoff falls für abgeschlossenen Mengen C und Punkte p nicht in C C und { p } funktionell getrennt sind. Tychonoff Räume sind regulär.
Normal
Ein Raum ist normal falls zwei beliebige disjunkte abgeschlossene Mengen Umgebungen haben. Normale Räume erlauben Zerlegungen der Normale T 1 Räume sind immer Tychonoffsch.
Ein Raum ist parakompakt falls jede Überdeckung eine offene lokal endliche Verfeinerung besitzt. Hausdorff-Räume sind normal.
Lindelöf
Ein Raum ist lindelöf falls jede Abdeckung eine abzählbare Unterabdeckung besitzt.
Kompakt
Ein Raum ist kompakt falls jede offene Abdeckung eine endliche besitzt. Kompakte Räume sind immer lindelöf und Kompakte Hausdorff-Räume sind somit normal.
Lokal kompakt
Ein Raum ist lokal kompakt falls jeder Punkt eine lokale Basis aus kompakten Umgebungen hat. Lokal kompakte Hausdorff-Räume immer Tychonoff.
Ein Raum X ist zusammenhängend falls er nicht die von zwei disjunkten nicht-leeren offenen Mengen ist.
Lokal zusammenhängend
Ein Raum ist lokal zusammenhängend falls Punkt eine lokale Basis bestehend aus zusammenhängenden besitzt.
Total unzusammenhängend
Ein Raum ist total unzusammenhängend falls keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem besitzt.
Wegzusammenhängend
Ein Raum X ist wegzusammenhängend (oder pfad-zusammenhängend) falls es jedes Paar von Punkten x y aus X einen Pfad p von x nach y gibt d.h. eine stetige Abbildung p : [0 1] -> X mit p (0) = x und p (1) = y . Wegzusammenhängende Räume sind immer zusammenhängend.
Lokal wegzusammenhängend
Ein Raum ist lokal wegzusammenhängend falls Punkt eine lokale Basis bestehend aus wegzusammenhängenden besitzt. Ein lokal wegzusammenhängender Raum ist zusammenhängend dann wenn er wegzusammenhängend ist.
Einfach zusammenhängend
Ein Raum X ist einfach zusammenhängend falls er wegzusammenhängend und jede stetige Abbildung f : S 1 -> X homotop zu einer konstanten Abbildung ist ist S 1 der Einheitskreis im R 2 ).
Zusammenziehbar
Ein Raum X ist zusammenziehbar falls die Identitätsabbildung auf X homotopisch zu einer konstanten Abbildung ist. Räume sind immer einfach zusammenhängend.
Ein Raum ist metrisierbar falls er zu einem metrischen Raum ist. Metrisierbare Räume sind immer Hausdorff parakompakt (und daher normal und Tychonoff) und
Lokal metrisierbar
Ein Raum ist lokal metrisierbar falls Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt.
Homogen
Ein Raum X ist homogen falls es für alle x und y aus X einen Homöomorphismus f : X -> X gibt so dass f ( x ) = y . Anschaulich gesagt bedeutet dies dass der an jedem Punkt gleich aussieht. Alle topologischen Gruppen sind homogen.
