Topologische Gruppe

Definition

1. Die Gruppenverknüpfung G × G -> G ist stetig. Dabei wird G × G mit der Produkttopologie versehen.
2. Die Inversenabbildung G -> G ist stetig.

Beispiele

Die reellen Zahlen R mit der Addition und der gewöhnlichen bilden eine topologische Gruppe. Allgemeiner ist der n -dimensionale euklidische Raum R ⁿ mit der Vektoraddition und der Standard-Topologie topologische Gruppe. Auch jeder Banachraum und Hilbertraum ist eine topologische Gruppe.

Die obigen Beispiele sind alle abelsch. Beispiele nichtabelscher topologischer Gruppen sind die Lie-Gruppen z.B. die Gruppe GL( n R ) aller invertierbaren reellen n -mal- n -Matrizen. Die Topologie entsteht dabei indem man Gruppe als Teilmenge des euklidischen Vektorraums R ^n×n auffasst.

Ein Beispiel einer topologischen Gruppe die Lie-Gruppe ist bildet die additive Gruppe der rationalen Zahlen Q (sie ist eine abzählbare Menge die mit der diskreten Topologie versehen ist). Ein Beispiel ist die Untergruppe der Drehgruppe des R ³ die erzeugt wird von zwei Drehungen irrationale Vielfache von Pi um verschiedene Achsen.

In jeder unitären Banach-Algebra bildet die der invertierbaren Elemente mit der Multiplikation eine Gruppe.

Eigenschaften

Ist a ein Element einer topologischen Gruppe G dann sind die Linksmultiplikation und die mit a Homöomorphismen von G nach G .

Anm. des Übersetzers: Ich muss zugeben dass von den meisten der Beispiele keine Ahnung insbesondere von Lie-Gruppen und deshalb für die dieser Übersetzung absolut keine Garantie geben kann. Rest der Eigenschaften kann man im englischen nachlesen da ich mir diesen Teil nicht

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