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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDonnerstag, 17. April 2014 

Tschebyscheff-Ungleichung


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Tschebyscheff-Ungleichung bezeichnet in der Mathematik zwei verschiedene Ungleichungen.


Die Tschebyscheff-Ungleichung ist ein Ergebnis der Statistik . Sie gibt eine untere Grenze für Wahrscheinlichkeit an dass ein Wert einer Zufallsvariable mit endlicher Varianz innerhalb eines bestimmten Bereiches um den Erwartungswert der Variable liegt. Damit ist auch obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit angegeben dass Werte außerhalb dieses Bereiches liegen.

Der Satz läßt sich auch auf anwenden die nicht "glockenförmig" sind und setzt dafür wie viele der Daten "in der liegen und wie viele nicht.

Satz Sei X eine Zufallsvariable mit Mittelwert μ und Varianz σ 2 . Dann gilt für alle reellen Zahlen k > 0:

<math>P(\left|X-\mu\right|>k)\leq\frac{\sigma^2}{k^2}.</math>
durch Umstellen ergibt sich auch
<math>P(\left|X-\mu\right| \leq k) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{k^2}</math>

Nur die Fälle k > 1 ergeben sinnvolle Resultate.

Nehmen wir zum Beispiel an dass im Durchschnitt 1000 Zeichen lang sind (mit Standardabweichung von 200 Zeichen). Aus der Tschebyscheff-Ungleichung kann man dann ableiten dass mindestens der Wikipedia-Artikel eine Länge zwischen 600 and Zeichen haben ( k = 400).

Eine andere Folgerung aus dem Satz dass für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert μ endlicher Standardabweichung σ mindestens die Hälfte der im Intervall (μ-√2 σ μ+√2 σ) liegen.

Die von der Tschebyscheff-Ungleichung angegebenen Grenzen können nicht nach oben werden. Man kann Zufallsvariablen konstruieren für welche die Grenzen gleich den Wahrscheinlichkeiten sind. Im allgemeinen sind die Grenzen schwach.

Trotz der "schwachen" Grenzen kann der nützlich sein weil er für viele Zufallsvariablen (auch solche die sich stark von der Normalverteilung unterscheiden) und weil die Grenzen einfach berechnen sind. Der Satz wird beim Beweis Gesetzes der großen Zahlen verwendet.

Er ist zu Ehren von Pafnuty benannt.

siehe auch: Markov-Ungleichung .


In der deutschsprachigen Literatur wird oft folgende Ungleichung als Tschebyscheff-Ungleichung bezeichnet:

Für zwei gleich geordnete Folgen {a i } {b i } (d.h. a 1 <= ... <= a n und b 1 <= ... <= b n oder jeweils mit '>=' statt '<=')

<math>\sum_{i=1}^n a_ib_i \geq \frac{1}{n} \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) \left(\sum_{i=1}^n
Gleicheit gilt genau dann wenn mindestends der Folgen konstant ist.



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