Ultrametrik

• d ( a b ) ≥ 0
• d ( a b ) = 0 gdw. a = b
• d ( a b ) = d ( b a )
• d ( a b ) ≤ d ( a c ) + d ( c b ) ( Dreiecksungleichung )

• d ( a b ) ≤ max{ d ( a c ) d ( c b )}

Beispiele

Die triviale Metrik ( d ( a b ) = 1 für a ungleich b sonst 0) auf einer nichtleeren Menge eine Ultrametrik.

Die p-adische Metrik auf Q und die auf dem Körper Q _p der p-adischen Zahlen ist eine Ultrametrik.

Ist S eine beliebige nichtleere Menge dann kann die Menge S ^N aller Folgen in S zu einem metrischen Raum machen indem den Abstand zweier verschiedener Folgen <math>(x_n) (y_n)</math> den Wert <math>1/N</math> setzt wobei N der kleinste Index ist für den verschieden ist von <math>y_N</math> und den Abstand Folge von sich selbst auf 0 setzt. metrische Raum ist dann vollständig und ultrametrisch.

Eigenschaften

Jedes Dreieck ABC aus Punkten eines Raums S ist gleichseitig oder gleichschenklig mit kürzerer

Beweis: Sind a b c die Abstände der drei Eckpunkte ( a = d (B C) usw.) dann ist entweder a = b = c (ABC gleichseitig) oder eine Seite ist als eine andere ohne Einschränkung nehmen wir dass a < b . Dann kann man aus der verschärften folgern dass c = b sein muss (es ist a < b ≤ max{ a c } also b ≤ c und c ≤ max{ a b }= b ) also ist ABC dann gleichschenklig mit Basis BC.

Jede offene Kugel ist abgeschlossen und abgeschlossene Kugel ist offen.

Jeder Punkt in einer (offenen oder Kugel ist Mittelpunkt dieser Kugel.

Zwei Kugeln sind entweder elementfremd ( disjunkt ) oder eine ist ganz in der enthalten.

Eine Folge ( a _n ) in S in der die Abstände direkt aufeinander Glieder gegen 0 konvergieren ist eine Cauchy-Folge

denn für jedes e >0 gibt es dann ein N mit d ( a _n a _n+1 ) < e für alle n ≤ N und somit gilt wegen der Ultrametrik alle m > n ≤ N : d ( a _n a _m ) ≤ max{ d ( a _n a _n+1 ) ... d ( a _m-1 a _m )} < e .

In einer topologischen Gruppe mit einer Ultrametrik (z.B. einem ultrametrischen wie Q _p ) ist eine unendliche Reihe genau dann eine Cauchy-Folge wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. Ist die Gruppe vollständig dann konvergiert die Reihe in diesem

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