Umgebung (Mathematik)

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 1.1 Umgebungsfilter 1.2 Umgebungsbasis 1.3 erste Abzählbarkeitsaxiom 2 Beipiele 3 Rekonstrution der Topologie 4 Bei metrischen Räumen

Definition

Umgebungsfilter

Die Menge aller Umgebungen eines Punktes p bilden einen Filter und der Umgebungsfilter von p heisst. Der Umgebungsfilter ist eine Teilmenge Potenzmenge von X .

Umgebungsbasis

Ein Menge <math>\mathfrak{B}</math> von Umgebungen eines x heißt eine Umgebungsbasis von x wenn jede Umgebung ein von <math>\mathfrak{B}</math> als Teilmenge hat.

erste Abzählbarkeitsaxiom

• Ein topologischer Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom wenn jeder seiner Punkte eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.

Beipiele

• Ist {x} offen dann ist {{x}} von x.
• Jeder metrische Raum erfüllt das erste
  • Denn für jedes reelle ε einer ε-Umgebung gibt es ein rationales δ mit δ < ε und rationalen Zahlen sind abzählbar.

Rekonstrution der Topologie

Man kann in einem topologischen die Mengen rekonstruieren wenn man zu jedem Punkt Umgebungen kennt:

• Eine Menge ist genau dann offen wenn Umgebung jedes ihrer Punkte ist.

Bei metrischen Räumen

In einem Metrischen Raum ( M d ) sind Raumeigenschaften der Menge M bereits durch die Metrik d festgelegt. Man zieht die topologischen Eigenschaften der Metrik heraus indem man Umgebungen herleitet man zunächst für jeden Punkt der Menge so genannten ε-Umgebungen definiert:

<math>

 \forall x_0 \in M : \forall > 0 :\ U_\epsilon\ (x_0) := \{\ \in M \ |\ d\ (x x_0) \epsilon \ \}  

Eine Teilmenge von M ist genau eine Umgebung des Punktes x ₀ wenn sie eine ε-Umgebung von x ₀ enthält. Die so definierten Umgebungen erfüllen oben aufgeführten Axiome 1-4 und bestimmen damit der Menge M eindeutig eine Topologie: Die die Metrik induzierte Topologie . Verschiedene Metriken können die gleiche Topologie

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