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Unendliche Reihe


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
In der Mathematik ist eine unendliche Reihe nichts anderes als eine Folge von Partialsummen der Form <math>S(n) = + s_1 + s_2 + \cdots + Eine solche Folge kann einen endlichen Grenzwert haben man sagt sie konvergiert oder nicht dann divergiert sie. Dass Reihen konvergieren können löste einige der Paradoxa Zenon.

Eine der einfachsten konvergenten unendlichen Reihen

<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots</math>
Man kann ihre Konvergenz auf der visualisieren: Stellen wir uns eine Linie mit Länge zwei vor auf der aufeinanderfolgene Abschnitte den Längen 1 1/2 1/4 usw. markiert Es gibt auf dieser Linie immer noch für einen weiteren Abschnitt da immer noch viel Platz ist wie der letzte Abschnitt war: Wenn wir die Strecke 1/2 markiert haben wir insgsamt 3/2 verbraucht es bleiben noch 1/2 übrig. Wenn wir nun 1/4 bleibt ein weiters 1/4 übrig etc. Dieses beweist zwar nicht dass die Summe gleich 2 ist aber dass sie höchstens 2 ist. Die Reihe hat also Obergrenze.

Diese Reihe ist eine spezielle geometrische Reihe und wird mathematisch üblicherweise als

<math>\sum_{n=0}^\infty 2^{-n}=2</math>
geschrieben.

Inhaltsverzeichnis

Konvergenz

Eine gegebene unendliche Reihe

<math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
mit reellen (oder komplexen ) Zahlen a n konvergiert nach S wenn der Grenzwert
<math>\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^N a_n</math>
existiert und gleich S ist. Man sagt auch dass S der Wert der Reihe ist. Anderenfalls heißt sie divergent .

Unabhängig von der Konvergenz setzt man

<math>S = \sum_{n=0}^\infty a_n </math>
um so der Reihe einen Namen S zu geben. Konvergiert S dann identifiziert man S mit dem Wert der Reihe.

Konvergenzkriterien

Im Folgenden seien die Zahlen a n stets reelle oder komplexe Zahlen und Reihe S definiert als

<math>S = \sum_{n=0}^\infty a_n.</math>

Notwendige Bedingung
Wenn die Reihe S konvergiert dann konvergiert die Folge ( a n ) der Summanden nach 0 für n -> ∞. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig (ein ist die harmonische Reihe).

Majorantenkriterium
Wenn alle Glieder a n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind S konvergiert und für alle n gilt

a n ≥ | b n |
mit reellen oder komplexen Zahlen b n dann konvergiert auch die Reihe
<math>T = \sum_{n=0}^\infty b_n </math>
und es ist | T | ≤ S .

Minorantenkriterium
Wenn alle Glieder a n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind S divergiert und für alle n gilt

a n b n
mit nichtnegativen reellen Zahlen b n dann divergiert auch die Reihe
<math>T = \sum_{n=0}^\infty b_n.</math>

Quotientenkriterium
Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert sodass für alle n N gilt

<math> \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \le C </math>
dann konvergiert die Reihe S .

Wurzelkriterium
Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert sodass für alle n N gilt

<math>\sqrt[n]{|a_n|} \le C </math>
dann konvergiert die Reihe S .

Integralkriterium
Ist f : [1 ∞) -> [0 ∞) eine nichtnegative monoton fallende Funktion mit

f ( n ) = a n für alle n
dann konvergiert S genau dann wenn das Integral
<math>\int_1^\infty f(x) dx</math>
existiert.

Leibniz-Kriterium
Eine Reihe der Form

<math>S = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n</math>
mit nichtnegativen a n wird alternierende Reihe genannt. Eine solche konvergiert wenn die Folge a n monoton fällt und gegen 0 konvergiert. Die ist nicht allgemeingültig.

Beispiele

Eine geometrische Reihe

<math>\sum_{n=0}^\infty z^n</math>
konvergiert genau dann wenn | z | < 1.

Die Reihe

<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}</math>
konvergiert wenn r > 1 und divergiert für r ≤ 1 was mit dem Integralkriterium werden kann. Als Funktion von r aufgefasst ergibt diese Reihe die Riemansche Zeta-Funktion .

Die Teleskopreihe

<math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math>
konvergiert genau dann wenn die Folge b n für n -> ∞ gegen eine Zahl L konvergiert. Der Wert der Reihe ist b 1 - L .

Potenzreihen

Einige wichtige Funktionen können als Taylorreihen dargestellt werden. Diese sind bestimmte unendliche in denen Potenzen einer unabhängigen Variable vorkommen. Reihen werden allgemein Potenzreihen genannt.

Literatur

K. Knopp Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen Springer 1996 (Neuauflage)



Bücher zum Thema Unendliche Reihe

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