Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier. In der Mathematik ist eine unendliche Reihe nichts anderes als eine Folge von Partialsummen der Form <math>S(n) = + s_1 + s_2 + \cdots + Eine solche Folge kann einen endlichen Grenzwert haben man sagt sie konvergiert oder nicht dann divergiert sie. Dass Reihen konvergieren können löste einige der Paradoxa Zenon.
Eine der einfachsten konvergenten unendlichen Reihen
Man kann ihre Konvergenz auf der visualisieren: Stellen wir uns eine Linie mit Länge zwei vor auf der aufeinanderfolgene Abschnitte den Längen 1 1/2 1/4 usw. markiert Es gibt auf dieser Linie immer noch für einen weiteren Abschnitt da immer noch viel Platz ist wie der letzte Abschnitt war: Wenn wir die Strecke 1/2 markiert haben wir insgsamt 3/2 verbraucht es bleiben noch 1/2 übrig. Wenn wir nun 1/4 bleibt ein weiters 1/4 übrig etc. Dieses beweist zwar nicht dass die Summe gleich 2 ist aber dass sie höchstens 2 ist. Die Reihe hat also Obergrenze.
Diese Reihe ist eine spezielle geometrische Reihe und wird mathematisch üblicherweise als
Im Folgenden seien die Zahlen a n stets reelle oder komplexe Zahlen und Reihe S definiert als
<math>S = \sum_{n=0}^\infty a_n.</math>
Notwendige Bedingung Wenn die Reihe S konvergiert dann konvergiert die Folge ( a n ) der Summanden nach 0 für n -> ∞. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig (ein ist die harmonische Reihe).
Majorantenkriterium Wenn alle Glieder a n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind S konvergiert und für alle n gilt
a n ≥ | b n |
mit reellen oder komplexen Zahlen b n dann konvergiert auch die Reihe
<math>T = \sum_{n=0}^\infty b_n </math>
und es ist | T | ≤ S .
Minorantenkriterium Wenn alle Glieder a n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind S divergiert und für alle n gilt
a n ≤ b n
mit nichtnegativen reellen Zahlen b n dann divergiert auch die Reihe
mit nichtnegativen a n wird alternierende Reihe genannt. Eine solche konvergiert wenn die Folge a n monoton fällt und gegen 0 konvergiert. Die ist nicht allgemeingültig.
konvergiert wenn r > 1 und divergiert für r ≤ 1 was mit dem Integralkriterium werden kann. Als Funktion von r aufgefasst ergibt diese Reihe die Riemansche Zeta-Funktion .
Die Teleskopreihe
<math>\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})</math>
konvergiert genau dann wenn die Folge b n für n -> ∞ gegen eine Zahl L konvergiert. Der Wert der Reihe ist b 1 - L .
Einige wichtige Funktionen können als Taylorreihen dargestellt werden. Diese sind bestimmte unendliche in denen Potenzen einer unabhängigen Variable vorkommen. Reihen werden allgemein Potenzreihen genannt.
