Variationsrechnung

Ein Beispiel ist das Brachystochronenproblem: Auf Kurve in einem Schwerefeld von einem Punkt zu einem Punkt B der unterhalb aber direkt unter A liegt benötigt ein Objekt geringste Zeit zum Durchlaufen der Kurve? Von Kurven zwischen A und B minimiert eine Ausdruck der die Zeit des Durchlaufens der beschreibt. Dieser Ausdruck ist ein Integral das unbekannte gesuchte Funktion die die Kurve von nach B beschreibt und deren Ableitungen enthält.

Das Schlüssel theorem der Variationsrechnung ist die Euler-Lagrange-Gleichung . Sie beschreibt die Stationaritätsbedingung eines Funktionals. bei der Aufgabe die Maxima und Minima Funktion zu bestimmen wird sie aus der kleiner Änderungen um die angenommene Lösung hergeleitet.

Die Variationsrechnung ist besonders in der theoretischen Physik wichtig so z.B. im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik in Anwendung des Prinzips der kleinsten In der Mathematik wurde die Variationsrechnung z.B. Bernhard Riemanns Behandlung des Dirichlet-Prinzips für harmonische Funktionen verwendet.

In der modernen Mathematik wird die nicht mehr in großem Umfang angewendet. Ihre tauchen bei den Hilbertraum -Techniken der Morse-Theorie und bei der symplektischen wieder auf. Der Begriff Variation wird für alle Extremal-Probleme von Funktionen Geodäsie und Differentialgeometrie sind Bereiche der Mathematik in denen eine Rolle spielen. Besonders am Problem der minimalen Oberflächen die z.B. bei Seifenblasen auftreten wurde gearbeitet.

Siehe auch

Bücher zum Thema Variationsrechnung

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