Vektoranalysis

Wir betrachten Vektorfelder welche jedem Punkt dieses Raumes einen zuordnen und Skalarfelder welche jedem Punkt dieses Raumes einen Skalar zuordnen. Die Temperatur eines Swimmingpools zum ist ein Skalarfeld: Jedem Punkt ordnen wir Skalarwert seiner Temperatur zu. Die Wasserbewegung in Swimmingpool ist dagegen ein Vektorfeld: Jedem Punkt wir einen Geschwindigkeitsvektor zu.

Drei Rechenoperationen sind in der Vektorrechnung Bedeutung (dabei ist ∇ der Ableitungsoperator):

Gradient eines Skalarfeldes

Gibt die Richtung und Stärke der eines Skalarfeldes an; der Gradient eines Skalarfeldes selbst ein Vektorfeld.

<math>\nabla\varphi = \begin{pmatrix} \partial\varphi / \partial x \partial\varphi / \partial y \\ \partial\varphi / z \end{pmatrix}</math>

Rotation eines Vektorfeldes

Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an Punkte zu rotieren; die Rotation eines Vektorfeldes ein Vektorfeld von Pseudovektoren.

<math>\operatorname{rot}\vec F := \nabla\times\vec F =

 {\partial F_z / \partial y} - F_y / \partial z} \\ {\partial F_x \partial z} - {\partial F_z / \partial \\ {\partial F_y / \partial x} - F_x / \partial y}  

Divergenz eines Vektorfeldes

Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an Punkten hin oder von Punkten weg zu die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld.

<math>\operatorname{div}\vec F:=\nabla\vec F =

Die meisten analytischen Ergebnisse sind leichter Hilfe der Differentialgeometrie zu verstehen einer Theorie die die umfasst.

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