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Vektoranalysis


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Vektoranalysis ist ein Teilgebiet der Mathematik das sich mit Vektoren in 2 oder mehr Dimensionen beschäftigt. Es besteht aus einem Satz Formeln und Problemlösungstechniken die für Ingenieurwesen und Physik sehr nützlich sind.

Wir betrachten Vektorfelder welche jedem Punkt dieses Raumes einen zuordnen und Skalarfelder welche jedem Punkt dieses Raumes einen Skalar zuordnen. Die Temperatur eines Swimmingpools zum ist ein Skalarfeld: Jedem Punkt ordnen wir Skalarwert seiner Temperatur zu. Die Wasserbewegung in Swimmingpool ist dagegen ein Vektorfeld: Jedem Punkt wir einen Geschwindigkeitsvektor zu.

Drei Rechenoperationen sind in der Vektorrechnung Bedeutung (dabei ist ∇ der Ableitungsoperator):

Gradient eines Skalarfeldes
Gibt die Richtung und Stärke der eines Skalarfeldes an; der Gradient eines Skalarfeldes selbst ein Vektorfeld.

<math>\nabla\varphi = \begin{pmatrix} \partial\varphi / \partial x \partial\varphi / \partial y \\ \partial\varphi / z \end{pmatrix}</math>

Rotation eines Vektorfeldes
Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an Punkte zu rotieren; die Rotation eines Vektorfeldes ein Vektorfeld von Pseudovektoren.

<math>\operatorname{rot}\vec F := \nabla\times\vec F =
\begin{pmatrix}
 {\partial F_z / \partial y} - F_y / \partial z} \\ {\partial F_x \partial z} - {\partial F_z / \partial \\ {\partial F_y / \partial x} - F_x / \partial y}  
\end{pmatrix}</math>

Divergenz eines Vektorfeldes
Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an Punkten hin oder von Punkten weg zu die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld.

<math>\operatorname{div}\vec F:=\nabla\vec F =
\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial \frac{\partial F_z}{\partial z} </math>

Die meisten analytischen Ergebnisse sind leichter Hilfe der Differentialgeometrie zu verstehen einer Theorie die die umfasst.



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