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Vierervektor


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Ein Vierervektor ist ein Vektor mit 4 Komponenten in dessen Definition die Lorentztransformation eingeht. Ein Vierervektor ist ein Tensor 1. Stufe.

Lorentztransformationen geben an wie bestimmte Ereignisse einem ruhenden im Vergleich mit einem bewegten Beobachter gesehen werden z.B. sind die Zeitdilatation und die Längenkontraktion das Ergebnis von Lorentztransformationen. Der Bereich dem sich ein Beobachter befindet wird auch Bezugssystem bezeichnet.

Bezugssysteme sind z.B. die Erde oder ein Raumschiff das sich relativ zur Erde bewegt. kann sich aber auch um ein Labor oder ein Elektron handeln das in diesem Labor eine kreisförmige Bahn beschreibt.

Im folgenden wird gezeigt wie Vierervektoren verschiedenen Bezugssystemen dargestellt werden und wie diese mit der Lorentztransformation zusammenhängen.

Seien S und <math>S'</math> Inertialsysteme . Man kann sich so ein Inertialsystem als eine Plattform vorstellen die sich mit Geschwindigkeit durch den (leeren) Raum bewegt. Auf jeder dieser Plattformen befindet ein Beobachter. Ein Ort auf der Plattform S werde durch die Koordinaten x y eine bestimmte Höhe durch die Koordinate z beschrieben. Der Beobachter hat eine Uhr die die verstrichene Zeit t misst.

Um die Koordinaten x y z eindeutig festzulegen bezeichnen sie im folgenden Abstände vom augenblicklichen Standort des Beobachters. Der ruht auf der Plattform er befindet sich nach dieser Beschreibung Ursprung des Koordinatensystems. Das System des ruhenden wird mit S bezeichnet. Die räumliche Ausdehnung des Beobachters für die folgenden Überlegungen nicht wichtig somit angenommen dass er sich am Ort mit Koordinaten x=0 und y=0 befindet.

Ein Ereignis in dem System S wird durch die Koordinaten x y z t beschrieben. Ein solches Ereignis ergibt sich wenn der Beobachter eine Kerze anzündet. Es zu einer Zeit t die Kerze befindet sich dann in Höhe z über dem Boden der Plattform und sie vom Beobachter angezündet wird am Standort Beobachters d.h. es ist x=0 und y=0 .

Relativ zu diesem Beobachter bewege sich andere Plattform <math>S'</math> mit konstanter Geschwindigkeit.

Auf der Plattform <math>S'</math> befinde sich anderer Beobachter. Er befindet sich relativ zu Plattform in Ruhe und er verwende die <math>x' y' z' t'</math>.

Es wird angenommen dass sich der in <math>S'</math> im Ursprung seines Koordinatensystems befindet dass die beiden Koordinatensysteme zum Zeitpunkt <math>t=t'=0</math> waren.

Ortsvektor

Der Ortsvektor des Systems S beinhaltet sowohl die Zeitkoordinate t als auch die Raumkoordinaten x y z eines Ereignisses.

In kontravarianter Darstellung sieht er folgendermaßen <math>(x^k)=(ct x y z)</math> und in kovarianter Darstellung : <math>(x_k)=(ct -x -y -z)</math>

Man verwendet die Darstellung ct anstatt t für die Zeitkoordinate da dann ct und x y z die gleiche physikalische Dimension haben. c ist das Symbol für die konstante Lichtgeschwindigkeit .

Dass <math>(x^k)</math> ein Vierervektor ist ergibt auf Grund seines Transformationsverhaltens unter Lorentztransformationen.

Für eine eindimensionale Bewegung des Systems mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse von S ergibt sich z.B. folgendes Transformationsverhalten:

<math>x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} y'=y z'=z ct'=\frac{ct-\frac{xv}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>

Die genauere Begründung hierfür ergibt sich der Gestalt der Lorentztransformation. Da sich die t x y z entsprechend der Lorentztransformation in <math>t' x' transformieren ist <math>(x^k)</math> ein Vierervektor.

Die Bedeutung dieser Transformation ist folgende: ein Beobachter in S für ein Ereignis in <math>S'</math> eine <math>t_1-t_2</math> so misst der Beobachter in <math>S'</math> das gleiche Ereignis die Zeitdifferenz <math>t_1'-t_2'</math>. Dabei <math>t_1'</math> und <math>t_2'</math> entsprechend der oben angegebenen berechnet.

Für jeden der beschriebenen Beobachter bewegt das andere System während er sich relativ seinem System in Ruhe befindet. Entsprechend der gebräuchlichen Konvention wird S als das ruhende <math>S'</math> als das System betrachtet.

Geschwindigkeitsvektor

Der Vierervektor der Geschwindigkeit <math>(u^k)</math> ergibt durch Differentiation des Ortsvektors <math>(x^k)</math> nach der Eigenzeit <math>d\tau</math>.

<math>(u^k)=\frac{d}{d\tau}(x^k)</math>

In dem Kapitel über Zeitdilatation wird die Bedeutung der Eigenzeit beschrieben.

Da der Ortsvektor bereits ein Vierervektor folgt hieraus dass auch der Geschwindigkeitsvektor ein sein muss.

Genauere mathematische Begründungen findet man in Literatur über Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie (vgl. die Literaturhinweise am Ende des

Im folgenden wird gezeigt wie sich Geschwindigkeitsvektor aus dem Ortsvektor berechnen lässt:

Der Ortsvektor wird folgendermaßen dargestellt: <math>(x^k)=(ct y z)</math>

Die Eigenzeit ist folgendermaßen definiert: <math>d\tau=dt\sqrt{(1-\frac{v^2}{c^2})}</math>

Die Relationen zwischen der Eigenzeit <math>d\tau</math> bewegten Systems und der Zeit dt eines ruhenden Beobachters können folgendermaßen geschrieben

<math>dt=\gamma d\tau</math> bzw. <math>d\tau = \frac{1}{\gamma}dt</math> <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>

Dabei wurde die in der Speziellen verwendete Größe <math>\gamma</math> eingeführt.

Mit diesen Voraussetzungen lässt sich nun Vierervektor der Geschwindigkeit berechnen: <math>(u^k)=\frac{d(x^k)}{d\tau}=(\frac{cdt}{d\tau} \frac{dx}{d\tau} \frac{dy}{d\tau} =\gamma(c \frac{dx}{dt} \frac{dy}{dt} \frac{dz}{dt})</math>

Mit den bisher betrachteten Vierervektoren lässt die relativistische Mechanik beschreiben (Viererimpuls Viererkraft). Eine Anwendung der Vierervektoren (insbesondere in der Gestalt Differentialoperatoren) findet man in der relativistischen Quantenmechanik ( Klein-Gordon-Gleichung Dirac-Gleichung ).

Literatur

  • T.Fliessbach: Allgemeine Relativitätstheorie BI Wissenschaftsverlag 1990 (mit einem Kapitel Spezielle Relativitätstheorie)
  • Walter Greiner Johann Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie Verlag Harri Deutsch 1989



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