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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDonnerstag, 23. Oktober 2014 

Volax-Future


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Volax-Future : Finanzterminkontrakt auf die implizite Volatilität einer DAX-Option am Geld mit drei Restlaufzeit. 1998 wurde der Volax-Future als erster auf implizite Optionsvolatilitäten an der DTB (heute Eurex ) eingeführt. Nach ca. 15.000 gehandelten Kontrakten der Handel mit dem Volax-Future allerdings Ende aufgrund stark gesunkener Liquidität wieder eingestellt.

Seit der Veröffentlichung des Black-Scholes-Modells ( 1973 ) ist der enorme Einfluß des Faktors auf den Optionspreis bekannt. Im Gegensatz zu Optionspreisfaktoren wie dem Kurs des Underlyings und Zins ließsich die Volatilität bis 1998 nicht separat mit einem einzigen Finanzinstrument In dem folgenden Aufsatz wird gezeigt wie Volax-Future auf die impliziten Volatilitäten der DAX-Option war und welche Anwendungsbereiche es für Volatilitätsfuture den Volax-Future gibt.

  
1973 war in mehrfacher Hinsicht ein Jahr für die internationalen Terminbörsen. Zum einen der Zusammenbruch des Bretton Woods Systems fester für signifikant höhere Volatilitäten auf den Zins- Devisenmärkten und in der Konsequenz für einen heute ungebrochenen Aufschwung der derivativen Instrumente in Bereichen. Zum anderen führte die CBOE in Chicago als erste Terminbörse der Welt Optionen auf Aktien ein. wurde erst durch die Ergebnisse von Fischer und Myron Scholes ermöglicht die gemeinsam ein zur Bewertung von Aktienoptionen europäischer Art veröffentlichten. die Herleitung der Optionspreisformel im Original sehr ist und das Modell nur unter idealtypischen gilt setzte sich das Modell in der schnell durch. Noch heute ist es das weitesten verbreitete Optionspreismodell. Denn zum einen liegt rechnerische Optionspreis P des Black-Scholes-Modells in der sehr nahe an dem Preis zu dem jeweilige Option tatsächlich gehandelt wird. Zum anderen das Modell nur fünf Inputfaktoren nämlich den Aktienkurs S den Ausübungspreis E die Restlaufzeit der Option den risikolosen Zinssatz r sowie Standardabweichung <math>\sigma</math> der Aktienrendite. Der letztgenannte Faktor auch als Volatilität bezeichnet.

Der Wert eines Portfolios mit Optionen in Abhängigkeit von Änderungen der Volatilität. Zur dieses Volatilitätsrisikos gibt es derzeit keine reinen Der vorliegende Aufsatz zeigt am Beispiel des auf die implizite Volatilität von DAX-Optionen wie Future auf implizite Volatilitäten aussehen kann. Dazu zunächst die impliziten Volatilität definiert und einige Eigenschaften dargesellt. Anschließend wird ein Futureskurs für hergeleitet und die konkrete Ausgestaltung des Volatilitätsfutures Darauf aufbauend werden die Anwendungsbereiche Hedging Spekulation und Arbitrage eines solchen Derivates erklärt.

Inhaltsverzeichnis

Merkmale impliziter Volatilität

Definition

Sind der Preis einer Option sowie preisbeeinflussenden Faktoren Laufzeit Kurs des Underlyings Zinsen Basispreis bekannt so läßt sich mittels eines die noch fehlende Größe Volatilität bestimmen. Die diese Art bestimmte Volatilität wird implizite Volatilität Die Formel des Black/Scholes-Modells sowie der anderen Optionspreismodelle läßt sich nicht nach der Volatilität umstellen. Daher müssen zur Bestimmung der impliziten numerische Näherungsverfahren verwendet werden. Bei europäischen Standardoptionen sie im Black-Scholes-Modell unterstellt werden bietet sich das Newton-Raphson-Verfahren an. Es ist sehr effizient konvergiert in der Regel innerhalb von drei vier Iterationen zu der gesuchten impliziten Volatilität.
  

Volatilitätssmile

Black/Scholes unterstellen in ihrem Modell unabhängig Basispreis und der Laufzeit der Option konstante Demnach müßten die impliziten Volatilitäten einer Option unterschiedlichen Basispreisen und verschieden langen Laufzeiten immer sein. Dies ist jedoch nicht der Fall. 1

1-Volatilitätssmile

zeigt die impliziten Volatilitäten von DAX-Call-Optionen unterschiedlichen Basispreisen bei gleicher Restlaufzeit. Auffallend ist konvexe Verlauf der impliziten Volatilitäten. Je weiter Basispreis unter dem aktuellen DAX-Kurs liegt desto ist die implizite Volatilität. Hauptursache dafür ist die DAX-Renditen entgegen den Annahmen im Black-Scholes-Modell normalverteilt sind. Die Tabelle zeigt daß die zwischen dem 2.1.1987 und dem 9.4.1997 leptokurtisch waren.

Kennzahlen der täglichen DAX-Renditen zwischen 2.1.1987 9.4.1997
Mittelwert 0 000412
Standardabweichung 0 012147
Schiefe -0 801822
Kurtosis 12 342076

Dies bedeutet es existieren gegenüber der höhere Wahrscheinlichkeiten daß sich die DAX-Renditen entweder verändern oder aber extreme Abweichungen von ihrem aufweisen. Crash-Situationen sind im DAX wahrscheinlicher als Kurssteigerungen. Weitere mögliche Gründe für die Volatilitätssmiles sich aus den Geld/Brief-Spannen bei besonders weit dem Geld liegenden Optionen sowie der generell Liquidität von nicht am Geld befindlichen Optionen. Existenz der Volatilitätssmiles hat wie noch zu ist einen nicht unerheblichen Einfluß auf die eines Volatilitätsfutures.

Zeitstruktur der Volatilität

Grafik 2

2-Zeitstruktur der Volatilität

zeigt die impliziten Volatilitäten am Geld befindlicher mit unterschiedlichen Restlaufzeiten. Entgegen den Annahmen des weisen verschiedene Laufzeiten nicht identische implizite Volatilitäten Dies hat im wesentlichen zwei Ursachen. Erstens ökonomische Rahmenbedingungen ständigen Änderungen die wiederum einen Einfluß auf den Kurs des Underlying haben. Volatilitäten sind daher ebenfalls ständigen Schwankungen ausgesetzt. beispielsweise ein Analyst für einen zukünftigen Zeitpunkt Änderung der ökonomischen Fundamentaldaten etwa eine Zinsänderung einen Bundesbankbeschluß so wird dies Einfluß auf Einschätzung der DAX-Entwicklung haben. Dies führt dazu der Analyst zur Optionspreisbestimmung von Optionen die bzw. nach dem Bundesbankbeschluß auslaufen werden jeweils Volatilitäten verwendet. Ein zweiter Grund ist die der Volatilität. Volatilitäten verharren nicht bei extremen Vielmehr kehren sie immer wieder zu ihrem Durchschnittswert zurück. Grafik 3

3-Entwicklung VDAX

verdeutlicht diese Eigenschaft anhand der Entwicklung des einem Index der impliziten Volatilitäten der DAX-Optionen. VDAX zeigt die Tendenz immer wieder zu langjährigen Durchschnitt von 15 44 Prozent zurückzukehren. maximaler Wert betrug 26 56 Prozent sein Wert 9 36Prozent.

Berechnung der Forward-Volatilität

Die Zeitstruktur der Volatilität erinnert stark eine Zinsstrukturkurve. Daher erfolgt die Bestimmung der Forward-Volatilitäten in Analogie zu einem Forward-Rate-Agreement im Die Existenz von Volatilitätssmiles wird zunächst ausgeklammert heißt je Laufzeit existiert nur eine implizite Grafik 4

4-Forward-Volatilität

zeigt die zu berechnende Forward-Volatilität sowie die zur Verfügung stehenden Größen. Zwischen den einzelnen gilt die folgende Beziehung (stochastische Unabhängigkeit von und <math>\sigma_F</math> unterstellt):

<math>\left( T_1-T_0 \right) \sigma^2_1 + \left( \right) \sigma^2_F = \left( T_2-T_0 \right) \sigma^2_2

Wird diese Gleichung nach der Forward-Volatilität aufgelöst so ergibt sich als Formel für implizite Forward-Volatilität:

<math>\sigma_F = \sqrt{\frac{\left( T_2-T_0 \right) \sigma^2_2 \left( T_1-T_0 \right) \sigma^2_1}{T_2-T_1}} </math>

  
Theoretisch ist die so berechnete Forward-Volatilität der faire Kurs für einen börsengehandelten Future.

Spezifikationen eines Volatilitätsfutures

Das Underlying

Zunächst ist zu klären auf welche Volatilität sich der Future bezieht. Je länger Laufzeit einer Option desto stärker reagiert ihr auf Volatilitätsänderungen. Unter diesem Aspekt sollte die liegende Volatilität sich auf möglichst lang laufende beziehen. Andererseits sind Optionen mit längerer Restlaufzeit der Regel weniger liquide als Optionen mit Restlaufzeit. Von daher sollten als Underlying eher mit kurzer Restlaufzeit gewählt werden. Einen guten diesen Gegensatz zu lösen stellen die impliziten dar. Aufgrund der Smilestruktur der impliziten Volatilitäten es wie schon in Grafik 1 gezeigt einheitliche implizite Drei-Monats-Volatilität. Die am aktivsten gehandelten sind die Optionen am „at-the-money“-Punkt. Zur Lösung Smileproblematik ist es daher sinnvoll als Underlying implizite Volatilität am „at-the-money“-Punkt zu verwenden. Börsengehandelte sind hinsichtlich der Basispreise standardisiert. Das bedeutet es in der Regel keine Option gibt Basispreis mit dem „at-the-money“-Punkt identisch ist. Die Volatilität am „at-the-money“-Punkt wird daher wie folgt Sie ist der gewogene Durchschnitt der impliziten der vier um den „at-the-money“-Punkt liegenden Optionen gleicher Restlaufzeit (Grafik 5)

5-Ermittlung at the money Volatilität

. Im Falle des Volax-Futures wurde das die Drei-Monats-Volatilität durch einen Subindex des VDAX der zusammen mit dem VDAX und weiteren von der Deutschen Börse an Börsentagen alle Sekunden berechnet und veröffentlicht wird.

Laufzeiten des Futures

An der Eurex werden u.a. ständig auf den DAX mit maximalen Laufzeiten von sechs neun und zwölf Monaten gehandelt. Aus impliziten Volatilitäten am „at-the-money“-Punkt dieser Optionen lassen mit der im vorherigen Kapitel beschriebenen Formel Drei-Monats-Forward-Volatilitäten mit einem Zeithorizont von drei sechs neun Monaten berechnen. Dadurch konnte der Volax-Future die implizite Drei-Monats-Volatilität der DAX-Optionen ebenfalls diese Laufzeiten aufweisen.

Kontraktwert

Damit der Volatilitätsfuture zur exakten Feinsteuerung Volatilitätsrisikos eines Optionsportfolios verwendet werden kann sollte Kontraktwert nicht zu groß sein. Ein Kontraktwert 100 DM multipliziert mit dem Kurs des der mit zwei Nachkommastellen notiert erfüllte 1998 Anforderung. Daraus ergab sich beim Volax-Future eine von 1 DM.

Verfalltermine

Der Volax-Future verfiel wie die zur des Underlying notwendigen Optionen an jedem dritten der Monate März Juni September und Dezember.

Anwendungsbereiche

Hedging

Der Volatilitätsfuture kann zur Absicherung von gegen Volatilitätsänderungen verwendet werden. Der Einfluß der auf den Optionspreis und damit das Ausmaß Volatilitätsrisikos wird durch die erste Ableitung der nach der Volatilität deutlich:

<math>\frac{\partial P}{\partial \sigma} = Vega = \sqrt{t}N'\left(\frac{\ln{\left(\frac{S}{E}\right)} + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)t}{\sigma \sqrt{t}}\right)</math>

  

Diese Größe wird auch Vega genannt daß statt des Begriffes Volatilitätsrisiko auch der Vegarisiko verwendet wird. Folgendes Zahlenbeispiel verdeutlicht anschaulich große Bedeutung des Volatilitätsrisikos: Ein Händler möchte bei einem DAX-Kurs von 3300 einem Zinssatz 3 4 Prozent und einer Volatilität von Prozent einen DAX-Call mit einem Basispreis von und einer Laufzeit von 30 Tagen kaufen. erhält die Option zu dem rechnerisch fairen von 57 50 DM. Am Nachmittag sind Marktparameter unverändert lediglich die Volatilität ist auf Prozent abgesunken (-14 3Prozent). Der Wert seines sinkt dadurch auf 49 98 DM immerhin Verlust von 13 2 Prozent innerhalb weniger Das Volatilitätsrisiko besteht für jedes Optionsportfolio mit von Optionen die bis zum Verfall gehalten Insbesondere für Market Maker die verbindliche Kurse und handeln müssen stellt der Volatilitätsfuture ein Instrument zur Absicherung dar.

Spekulation

Der Volax-Future erlaubte es Tradern erstmalig eine reine Volatilitätsänderung zu spekulieren. Mit den Optionen ist dies bisher nur in sehr Weise möglich. Aufgrund des Einflusses einer Vielzahl Kennzahlen auf die impliziten Volatilitäten ergibt sich Trader ein ganz neues Betätigungsfeld. Auch wurden den letzten Jahren eine Reihe an vielversprechenden zur Volatilitätsprognose entwickelt die sich in profitable einbauen lassen.
  

Arbitrage

Unter Arbitrage wird die Realisierung risikoloser durch das Ausnutzen von Preisunterschieden verstanden. Der ist auf die folgende Art und Weise Ist der Future teurer (preiswerter) als sein fairer Wert so muß ein Arbitrageur den verkaufen (kaufen) die zur Berechnung des fairen notwendige kurzfristige Volatilität mittels eines deltaneutralen Straddles ebenfalls verkaufen (kaufen) und die entsprechende Volatilität durch einen deltaneutralen Straddle kaufen (verkaufen). echten Arbitrage müssen die beiden Straddles zusätzlich thetaneutral ausgerichtet werden damit es im Arbitrageportfolioes zu einem Zeitwertverlust kommt. Zur deltaneutralen Ausbalancierung Arbitrageportfolios kann auch der DAX-Future verwendet werden. Bewegungen des DAX muß das Arbitrageportfolio dynamisch sich veränderten Marktbedingungen angepaßt werden.

Fazit und Ausblick

Das vorgestellte Konzept Volax-Futures auf die Drei-Monats-Volatilitäten der DAX-Optionen war 1998 eine echte Erstmals in der Geschichte der Terminbörsen wurde diesem Kontrakt der Faktor Volatilität isoliert handelbar. Hedger Spekulanten und Arbitrageure ergaben sich durch reinen Volatilitätshandel eine Vielzahl neuer Möglichkeiten zur ihrer Optionsportfolios. Allgemein wurden und werden Volatilitätsderivaten der Einstellung des Handels Ende 1998 des mangels Liquidität erhebliche Umsatzpotentiale zugesprochen. Das vorgestellte des Volax-Futures ist darüber hinaus geeignet auf Märkte für Zins- Währungs- und Commodity-Optionen übertragen werden. Dazu muss lediglich das zur Berechnung Volatilitäten notwendige Optionspreismodell dem jeweiligen Underlying angepaßt Zwar hat seit 1998 (bis Anfang 2004) Terminbörse mehr einen neuen Anlauf unternommen Volatilitätsderivate listen doch haben einige Banken in Deutschland aufgelegt die nach ganz ähnlichen Prinzipien funktionieren der damalige Volax-Future. Hierzu zählen z.B. Zertifikate Deutschen Bank auf den VDAX oder der auf die implizite Volatilität von DAX-Optionen.

Literatur

  • Black Fischer/Scholes Myron (1973): The Pricing of and Corporate Liabilities in: Journal of Political Vol. 81 S. 637-654.
  • Brenner Menachem/Galai Dan (July-August 1989): New Financial for Hedging Changes in Volatility in: Financial Journal S. 64.
  • Engle Robert F. (1993): Statistical Models for Volatility in: Financial Analysts Journal January-February S. (Eine gute Einführung in die Verfahren zur
  • Grünbichler Andreas/Longstaff Francis A. (1994): Valuing Futures Options on Volatility Working Paper Anderson Graduate of Management University of California S. 1ff.
  • Manaster Steven und Koehler Gary (1982): The of Implied Variances from the Black-Scholes Model: Note in: The Journal of Finance Vol. S. 227-229.
  • Natenberg Sheldon (1994): Option Volatility and Pricing York S. 72ff.
  • Redelberger Dr. Thomas (1994): Grundlagen und Konstruktion VDAX-Volatilitätsindex der Deutsche Börse AG. (Achtung das wurde Ende 1997 grundlegend überarbeitet der VDAX aktuell nach einem anderen Konzept berechnet. Siehe http://deutsche-boerse.com/dbag/dispatch/s/5D6B9A57C0E87DF300EE8306E6A598ED/de/kir/gdb_navigation/information_services/30_Indices_Index_Licensing/60_Guidelines_Short_Information?categoryID=4) für den Indexleitfaden der Deutschen Börse)
  • Tompkins Robert (1994): Options Explained2 S.156f. Dort sich auch eine Analyse der Smilestrukturen unterschiedlicher
  • Werner Elmar (1997): Future auf implizite Volatilitäten DAX-Optionen in: Die Bank Nr. 6 S.342-345.
  • Werner Elmar/Roth Randolph (1998): The Volax future Risk - Special Report Equity Derivatives February S16-S17.
  • Whaley Rober E. (1993): Derivatives on Market Hedging Tools Long Overdue in: The Journal Derivatives S. 71ff.




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