Vollständiger Raum

Ein vollständiger Raum ist in der Analysis ein metrischer Raum M in dem jede Cauchy-Folge von Punkten aus M gegen eine Element von M konvergiert .

Für andere Wortbedeutungen von vollständig siehe die Begriffsklärungsseite Vollständigkeit .

Anschaulich ist ein Raum vollständig wenn keine "Löcher" hat also keine "Punkte fehlen". Beispiel ist der Raum der rationalen Zahlen nicht vollständig weil z.B. √2 nicht ist. Es ist aber stets möglich die auszufüllen einen unvollständigen metrischen Raum zu vervollständigen .

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele 2 Einige Sätze 3 Vervollständigung 4 Topologisch vollständige Räume

Beispiele

Die Menge <math>\mathbb{Q}</math> der rationalen Zahlen der Betragsmetrik (erzeugt vom reellen Absolutbetrag) ist Oben wurde bereits √2 als irrationale Zahl genannt und die Folge rationaler Zahlen

<math>x_1:=1 \quad x_{n+1}:=x_n/2 + 1/x_n</math>

Das offene Intervall <math>(0 1)</math> ebenfalls der Betragsmetrik ist ebenfalls nicht vollständig denn Cauchy-Folge <math>\left(\frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \frac{1}{5} \dots\right)</math> hat Grenzwert in diesem Intervall. Das abgeschlossene Intervall 1]</math> dagegen ist vollständig der Grenzwert 0 Folge liegt darin.

Der Raum der reellen Zahlen und der der komplexen Zahlen (beide mit der Betragsmetrik) sind beide ebenso wie der euklidische Vektorraum <math>R^n</math>. Viele Vektorräume sind vollständig andere nicht; die vollständigen nennt man Banachräume .

Der Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der p -adischen Zahlen ist vollständig für jede Primzahl p . Dieser Raum ist die Vervollständigung von bezüglich der Metrik des p -adischen Betrags so wie <math>\mathbb{R}</math> die Vervollständigung von für die Metrik des Absolutbetrags ist.

Ist S eine beliebige nichtleere Menge dann kann die Menge <math>S_N</math> aller Folgen in S zu einem metrischen Raum machen indem den Abstand zweier verschiedener Folgen <math>(x_n) (y_n)</math> den Wert <math>1/N</math> setzt wobei N der kleinste Index ist für den verschieden ist von <math>y_N</math> und den Abstand Folge von sich selbst auf 0 setzt. metrische Raum ist dann vollständig (und ultrametrisch). ist homöomorph zum Produkt abzählbar vieler Kopien des Raums S .

Einige Sätze

Jeder kompakte metrische Raum ist vollständig. Ein metrischer ist kompakt genau dann wenn er vollständig totalbeschränkt ist.

Eine Teilmenge eines vollständigen Raumes ist vollständig genau dann wenn sie abgeschlossen ist.

Ist X eine nichtleere Menge <math>(M d)</math> ein metrischer Raum dann ist der Raum <math>B(X der beschränkten Funktionen von X nach M ein vollständiger metrischer Raum mit der

<math>d(f g):=\sup_x d(f(x) g(x))</math>

Ist X ein topologischer Raum und M ein vollständiger metrischer Raum dann ist Menge <math>C_b(X M)</math> der beschränkten stetigen Funktionen von X nach M eine abgeschlossene Teilmenge von <math>B(X M)</math> als solche vollständig.

Vervollständigung

Für jeden metrischen Raum M gibt es einen vollständigen metrischen Raum M' der M als dichten Teilraum enthält. Diesen Raum man eine Vervollständigung von M . Da alle Vervollständigungen von M metrisch isomorph sind spricht man auch der Vervollständigung von M .

Die Vervollständigung von M kann man konstruieren als Menge von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen in M . Für zwei Cauchy-Folgen <math>(x_n)_n</math> und <math>(y_n)_n</math> M definieren wir ihren Abstand durch

<math>d(x y):=\lim_n d(x_n y_n)</math>

Dieser Abstand existiert weil die reellen vollständig sind er ist aber nur eine denn verschiedene Cauchy-Folgen können den Abstand 0 Diese Eigenschaft " x y haben Abstand 0" ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Cauchy-Folgen und Menge aller Äquivalenzklassen M' ist mit diesem Abstandsbegriff ein metrischer und zwar ein vollständiger. Identifiziert man jedes x aus M mit der Äquivalenzklasse der konstanten Folge so erhält man eine isometrische Einbettung von M in M' .

Cantors Konstruktion der reellen Zahlen aus den ist ein Spezialfall hiervon. Wie oben schon erhält man andere metrische Räume Q _p wenn man statt der gewöhnlichen Betragsmetrik p -adische Metrik verwendet und Q vervollständigt.

Vervollständigt man einen normierten Vektorraum so man einen Banachraum der den ursprünglichen Raum als dichten enthält und vervollständigt man einen euklidischen Vektorraum erhält man einen Hilbertraum in dem der ursprüngliche Raum dicht

Topologisch vollständige Räume

Vollständigkeit ist eine Eigenschaft der Metrik nicht der Topologie das heißt ein vollständiger metrischer Raum homöomorph sein zu einem unvollständigen metrischen Raum. Beispiel sind die reellen Zahlen vollständig aber zum offenen Intervall <math>(0 1)</math> das nicht ist (ein Homöomorphismus von (0 1) nach R ist z.B. <math>\tan((x+1/2)\pi)</math>). Ein anderes Beispiel die irrationalen Zahlen die nicht vollständig sind homöomorph zum Raum der natürlichen Zahlenfolgen N ^N (ein Spezialfall eines Beispiels von oben).

In der Topologie betrachtet man topologisch vollständige (oder vollständig metrisierbare ) Räume für die mindestens eine Metrik die die vorhandene Topologie erzeugt. Topologisch vollständige können charakterisiert werden als diejenigen Räume die darstellen lassen als Durchschnitt abzählbar vieler offener eines vollständigen metrischen Raums.

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