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Wahrscheinlichkeitstheorie


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Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Gebiet der Mathematik das vom Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten handelt.

Inhaltsverzeichnis

Axiomatischer Aufbau

Wie jedes Teilgebiet der modernen Mathematik auch die Wahrscheinlichkeitstheorie mengentheoretisch formuliert und auf axiomatische Vorgaben aufgebaut. der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse die als Mengen aufgefasst werden und Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind; Wahrscheinlichkeiten sind reelle Zahlen 0 und 1; die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten Ereignissen muss gewissen Mindestanforderungen genügen.

Diese Definitionen geben keinen Hinweis wie die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse ermitteln kann; sie auch nichts darüber aus was Zufall und was Wahrscheinlichkeit eigentlich sind. Die mathematische Formulierung der ist somit für verschiedene Interpretationen offen. Siehe die Artikel Wahrscheinlichkeit Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Quantenlogik.

Definitionen

Ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω ist eine Menge aus deren sich ein Ereignisraum Σ zusammensetzt auf dem wiederum ein Wahrscheinlichkeitsmaß P definiert ist.

Ein Element von Ω wird gelegentlich Elementarereignis genannt. Einem Elementarereignis wird keine Wahrscheinlichkeit aber eine Wahrscheinlichkeitsdichte zugeschrieben.

Der Ereignisraum Σ ist eine Menge von Teilmengen Ω. Wenn Ω abzählbar ist kann man Σ als die Potenzmenge (die Menge aller Teilmengen) von Ω jedenfalls muss Σ eine σ-Algebra sein (eine bezüglich der abzählbaren Vereinigung Menge von Teilmengen die die Grundmenge und jeder Menge auch deren Komplement enthält).

Ein Ereignis A ist somit Element von Σ und Teilmenge von Ω.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein Maß P : Σ →[0 1] im Sinne der Maßtheorie mit P (Ω)=1.

Historische Bemerkung:

Die axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde in 1930er Jahren von Andrei N. Kolmogorov entwickelt. Ohne explizite Berufung auf die der Maßtheorie lässt sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit folgenden drei Kolmogorov-Axiomen einführen:
(1) Für jedes Ereignis A ⊆Ω ist die Wahrscheinlichkeit eine reelle Zahl 0 und 1: 0≤ P ( A )≤1.
(2) Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit P (Ω)=1.
(3) Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten einzelnen Ereignisse. Inkompatible Ereignisse sind disjunkte Mengen A 1 A 2 ...; es muss gelten: <math>P(A_1 \cup \cup \cdots) = \sum P(A_i)</math>. Diese Eigenschaft auch σ-Additivität genannt.

Beispiel: Münzwurf

Die Ereignisse beim Münzwurf mögen Zahl oder Wappen lauten.

  • Dann ist der Wahrscheinlichkeitsraum Ω={Zahl Wappen}.
  • Die Ereignismenge ist die Potenzmenge Π(Ω) also {Zahl} {Wappen} Ω}.
  • Für das Wahrscheinlichkeitsmaß P steht aufgrund der Axiome fest:
    • P ({})=0;
    • P ({Zahl})=1- P ({Wappen});
    • P (Ω)=1.
Zusätzliches (außermathematisches) Wissen ist erfordert um P ({Zahl})= P ({Wappen})=0 5 anzusetzen.

Folgerungen

Aus den Axiomen ergeben sich unmittelbar Folgerungen:

Aus der Additivität der Wahrscheinlichkeit disjunkter folgt dass komplementäre Ereignisse komplementäre Wahrscheinlichkeiten haben: P (Ω\ A ) = 1- P ( A ).

Daraus folgt unmittelbar dass das unmögliches Ereignis die leere Menge die Wahrscheinlichkeit Null hat: P ({})=0.

Für die Vereinigung nicht notwendig disjunkter folgt: <math>P(A \cup B) = P(A) + - P(A \cap B)</math>.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

siehe auch Bedingte Wahrscheinlichkeit

Verbundwahrscheinlichkeit (Schnittmengen von Ereignissen):

<math>P(A \cap B) = P(A) \cdot \vert A) = P(B) \cdot P(A \vert

Bayes-Theorem :

<math>P(A|B) = \frac {P(B | A) {P(B)}</math>

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik werden zusammenfassend auch als Stochastik bezeichnet. Beide Gebiete stehen in enger Beziehung:

  • Statistische Verteilungen werden regelmäßig unter der Annahme modelliert dass sie das Resultat zufälliger Prozesse
  • Ungekehrt liefern statistische Daten über eingetretene Ereignisse (in frequentistischer Interpretation sogar die einzigen akzeptablen für die Wahrscheinlichkeit künftiger Ereignisse.

Anwendungsgebiete

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand aus dem Problem gerechten Verteilung des Einsatzes bei abgebrochenen Glückspielen. andere frühe Anwendungen stammen aus dem Bereich Glücksspiels.

Heute ist die Wahrscheinlichkeitstheorie eine Grundlage schließenden Statistik. Die angewandte Statistik nutzt Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie etwa um zu interpretieren oder Wirtschaftsprognosen zu erstellen.

Daneben kommt sie außer in der unter anderem auch in der Zuverlässigkeitstheorie zum

Stichworte

Folgende Stichworte müssen noch eingearbeitet werden:



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