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Wahrscheinlichkeitsverteilung


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In der Wahrscheinlichkeitstheorie geben eine Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Verteilungsfunktion oder eine Wahrscheinlichkeitsdichte an mit welcher Wahrscheinlichkeit eine diskrete kontinuierliche Zufallsgröße bestimmte Werte annimmt.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Die drei Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte stehen in engem Zusammenhang miteinander; deshalb sie in einem gemeinsamen Artikel erklärt. Die im folgenden Definitionen sind die in der mathematischen Literatur mehrheitlich üblichen. In mathematisch anspruchsloseren werden die drei Begriffe allerdings nicht selten in beinahe jeder denkbaren Weise miteinander verwechselt; Zweifel muss man aus dem Kontext und/oder formalen Notation erschließen ob zum Beispiel eine Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnete Funktion eine kumulierte Verteilungsfunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsgröße X bestimmte Werte annimmt. Im Falle einer diskreten Zufallsgröße kann man zum Beispiel die dass X den Wert 5 annimmt als P ( X =5) notieren. Im Falle einer kontinuierlichen Zufallsgröße ist der Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung problematisch denn die Wahrscheinlichkeit dass eine Zufallsgröße unendlich viele Stellen genau einen bestimmten reellen annimmt ist 0. Um eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen fragt man nicht mit welcher Wahrscheinlichkeit X einen bestimmten Wert annimmt sondern mit Wahrscheinlichkeit X in ein bestimmtes Intervall fällt. Zum kann man P (5≤ X <6) angeben. Mit einem nach unten unendlichen erhält man eine kumulative Verteilungsfunktion; mit einem Intervall eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Der Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht in deskriptiven Statistik die Häufigkeitsverteilung .

Eine kumulative Verteilungsfunktion F ( x ) = P ( X x ) gibt die Wahrscheinlichkeit an dass die X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Man kann Verteilungsfunktionen sowohl für wie auch für kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen angeben. In der Regel spricht man einfach von Verteilungsfunktion . Die explizite Kennzeichnung als kumulativ kann helfen Verwechslungen mit der Wahrscheinlichkeitsdichte vermeiden.

Eine Wahrscheinlichkeitsdichte f ( x ) wird üblicherweise nur im Falle kontinuierlicher verwendet. Man erhält sie als Ableitung der Verteilungsfunktion f ( x )=d F ( x )/d x . Durch Multiplikation von f ( x ) mit dem Differential d x erhält man die Wahrscheinlichkeit dass X einen Wert aus einem infinitesimal schmalen annimmt

d x f ( x ) = P ( x X < x +d x ).
Durch Integration über beliebige Intervalle [ a b ] erhält man daraus endliche Wahrscheinlichkeiten
<math>\int_a^b {\rm d}x f(x) = P(a\le X\le

Wichtige Verteilungen

Diskrete Verteilungen

Siehe auch: Näherungslösungen

Kontinuierliche Verteilungen

Über einem endlichen Intervall im einfachsten [0 1]:

Über einem halbseitig unendlichen Intervall üblicherweise [0 ∞) angenommen:

Über der ganzen Zahlengeraden:

Noch nicht in die obigen drei Kategorien

  • Laplace-Verteilung (Doppelexponentialverteilung)
  • Fishersche z-Verteilung
  • Weibull-Verteilung

Einordnung in axiomatischen Aufbau

Aus einer älteren Fassung; müsste an aktuelle der Wahrscheinlichkeits-Artikel angepasst werden:

In einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (<math>\Omega</math> p ) mit Zähldichte p heißt

<math>P:\begin{cases}\mathfrak{P}(\Omega)&\to\mathbb{R}\\A&\to\sum_{\omega\in A}p(\omega)\end{cases}</math>

die zu p gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung .

Es gelten stets die Kolmogorow-Axiome .

Weblinks

Verfügbarkeit in numerischen Bibliotheken

  • Katalog der Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Gnu Scientific



Bücher zum Thema Wahrscheinlichkeitsverteilung

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