Waringsches Problem

Der Vier-Quadrate-Satz besagt dass jede natürliche als Summe von höchstens vier Quadratzahlen dargestellt kann. Er wurde 1621 von Bachet und 1640 von Fermat vermutet und 1770 von Lagrange bewiesen.

Warings Verallgemeinerung besagt dass zu jedem Exponenten k eine natürliche Zahl g existiert so dass jede natürliche Zahl Summe von höchstens g k -ten Potenzen dargestellt werden kann.

Warings Vermutung wurde 1909 von David Hilbert bewiesen. Die Aussage wird deshalb manchmal als "Hilbert-Waring's theorem" bezeichnet (deutsche Bezeichnung?) .

Die kleinstmögliche Zahl g für einen Exponenten k bezeichnet man als g ( k ). Es ist g (1) = 1. Berechnungen zeigen dass die 7 vier Quadrate benötigt 23 benötigt 9 und 79 benötigt 19 vierte Potenzen. Waring dass diese Werte die bestmöglichen sind also g (2) = 4 g (3) = 9 und g (4) = 19.

Durch den Vier-Quadrate-Satz ist g (2) = 4 bewiesen.

Dass g (3) = 9 ist wurde 1912 von Arthur Wieferich und A. J. Kempner bewiesen. g (4) = 19 wurde 1986 von R. Balasubramanian F. Dress und Deshouillers gezeigt g (5) = 37 im Jahr 1964 von Jing-run Chen und g(6) = 1940 von Pillai.

Durch die Arbeit von Dickson Pillai und Niven sind nun alle anderen g ( k ) ebenfalls bekannt. Ihre Formel umfasst zwei wobei vermutet wird dass der zweite Fall kein k auftritt. Für den ersten Fall lautet Formel

g ( k ) = floor ((3/2) ^k ) + 2 ^k - 2     für k ≥ 6.

Weblink

• Waring's Problem auf mathword.wolfram.com (englisch)

Bücher zum Thema Waringsches Problem

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.