Wellengleichung

Unter einer homogenen Wellengleichung versteht man eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion

<math>u(x_1 ... x_n t)</math>

<math> c^2 \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} - u}{\partial t^2} = 0</math>

Unter einer inhomogenen Wellengleichung versteht man die Differentialgleichung die man Ersetzen der rechten Seite durch eine Funktion x _i und t aus obiger Gleichung ersetzt. Die Wellengleichung vom hyperbolischen Typ.

Oft wird der Begriff "Wellengleichung" darüber auch auf andere lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung deren Lösungen als Linearkombinationen ebener Wellen geschrieben werden können.

Die Funktion u kann dabei in die reellen oder Zahlen aber auch auf Vektoren Tensoren oder Spinoren abbilden.

Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer

Die homogene Wellengleichung in einer Dimension

<math>c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial

<math>u(x t) = f(x + ct) + - ct)</math>

Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen sich die Funktionen f und g als Linearkombination von Sinus -Funktionen oder auch komplexen Exponentialfunktionen schreiben wobei Funktionen die Form

<math>u(x t) = A\sin(k x \pm \omega + \phi)</math>

<math>u(x t) = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x \pm \omega

<math>\omega = k c</math>

Die Wellengleichung in mehreren Dimensionen

In mehreren Dimensionen lässt sich die Lösung nicht mehr so einfach hinschreiben aber hier können alle Lösungen als Linearkombination der Wellen

<math>A\sin(\vec k\vec x \pm \omega t +

<math>u(x t) = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\vec k \vec x \omega t)}</math>

<math>\omega = \left|\vec k\right| c</math>

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