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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDonnerstag, 2. Oktober 2014 

Wohldefiniert


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Der Begriff der Wohldefiniertheit tritt in der Mathematik als Eigenschaft Funktionen und Verknüpfungen auf. Dabei gibt es zwei von unterschiedene Bedeutungen deren zweite ein Spezialfall der ist.

Inhaltsverzeichnis

Im Definitionsbereich definiert und Bilder im Wertebereich

Ist f : A -> B eine Funktion d.h. eine Zuordnung von Menge A in die Menge B so heißt die Menge A ihr Definitionsbereich und B ist ihr Wertebereich . Man sagt auch dass f auf der Menge A definiert ist.

Ist nun f durch eine Abbildungsvorschrift mit einer Variablen x gegeben dann muss jedes Element von A beim Einsetzen für x ein sinnvolles Ergebnis liefern d.h. das muss definiert sein. Darüberhinaus muss es natürlich B liegen.

In diesem Sinne ist die Wohldefiniertheit Funktion f bereits in der Aussage enthalten dass f : A -> B eine Funktion ist also A ihr Definitionsbereich und B ihr Wertebereich ist.

Beispiele:

Der Definitionsbereich für die Funktion x -> 1/x darf die Zahl 0 nicht Als ihr Definitionsbereich kann daher (im Rahmen rellen Zahlen ) die Menge der von Null verschiedenen reellen Zahlen (oder eine Teilmenge gewählt werden.

Auch ist die Funktion cos: R -> [0 1] (s. Intervall ) nicht wohldefiniert weil der Kosinus auch negative Werte annimmt.

Repräsentantenunabhängigkeit

Induzierte Abbildung

Die andere Bedeutung der Wohldefiniertheit tritt wenn man eine Abbildung f : A -> B hat und in A und B so genannte Faktormengen A /~ und B /~ durch Einführung von Äquivalenzrelationen ~ bildet. Man kann zwischen diesen eine induzierte Abbildung g wie folgt definieren:

g ([ x ]) := [ f ( x )]

Dabei ist [ x ] die Äquivalenzklasse von x .

Damit nun g eine Abbildung von A /~ nach B /~ ist muss das Bild jeder Äquivalenzklasse a unabhängig von der Wahl des Repräsentanten x von a sein. Es muss also gelten:

Falls [ x ] = [ y ] dann ist [ f ( x )] = [ f ( y )]

Ist das erfüllt heißt g wohldefiniert .

Auch hier bedeutet die Wohldefiniertheit von g nur dass g jedem Element von A /~ genau ein Element von B /~ zuordnet also eine Funktion ist.

Man kann natürlich auch nur bei der beiden Mengen zu einer Faktormenge übergehen. der anderen Stelle entfällt dann die Bildung Äquivalenzklasse.

Beispiel:

Betrachte die Relation ~ auf R mit x ~ y gdw. ( x - y )/(2π) in Z . Dies ist eine Äquivalenzrelation und der induziert eine Abbildung

c : R /~ -> R c([ x ]) = cos( x ).

Da cos( x + 2πk) = cos( x ) ist c wohldefiniert.

Induzierte Verknüpfung

Analoge Forderungen erhält man wenn man Verknüpfung "*" auf einer algebraischen Struktur A nimmt und versucht eine induzierte Verknüpfung auf der Faktorstruktur A /~ zu definieren:

[ x ]*[ y ] := [ x * y ]

Auch hier muss gelten dass verschiedene derselben Klassen stets dasselbe Ergebnis liefern um einer Verknüpfung auf der Faktorstruktur sprechen zu

Beispiele für die Wichtigkeit dieser Art Wohldefiniertheit sind Faktorgruppen und Faktorringe denn für eine Gruppe G und eine Untergruppe H ist die Faktormenge G / H nur dann eine Gruppe wenn die Verknüpfung wohldefiniert ist.

Beispiele:

Addition und Multiplikation in den Restklassenringen Z / n Z sind wohldefiniert.

Ist N ein Normalteiler der Gruppe G dann ist die auf G / N induzierte Verknüpfung wohldefiniert und G / N heißt Faktorgruppe .



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