Zahlenbereich

• Natürliche Zahlen (Symbol: <math>\mathbb{N}</math>)

Natürliche Zahlen sind aus dem Grundbedürfnis Menschen erwachsen Dinge zu zählen d.h. die von Elementen zu bestimmen. Unter ihnen versteht die Menge aller positiven ganzen Zahlen. Gewöhlich ihnen auch noch die neutrale Zahl 0 was zum Zahlenbereich N ₀ führt. Addition und Multiplikation sind uneingeschränkt möglich.

Beispiele: 0 1 2 3 4 6 ...

• Ganze Zahlen (Symbol: <math>\mathbb{Z}</math>)

Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen um negative ganze Zahlen. Mit ihnen ist möglich uneingeschränkt zu subtrahieren .

Beispiele: ... -3 -2 -1 0 2 3 ...

• Rationale Zahlen (Symbol: <math>\mathbb{Q}</math>)

Die rationalen Zahlen umfassen die Menge Bruchzahlen. Eine Bruchzahl ist der Quotient zweier wobei die Einschränkung gilt dass der Divisor nicht 0 sein darf. Mit der Erweiterung die rationalen Zahlen sind alle vier Grundrechenarten der Division ausführbar.

Beispiele: <math>{1 \over 3}</math> <math>{7 \over 1 8

• Reelle Zahlen (Symbol: <math>\mathbb{R}</math>)

Die reellen Zahlen bilden eine Synthese den rationalen Zahlen und den so genannten Zahlen - unendliche nicht periodische und demzufolge als Bruch darstellbare Zahlen. Das Ziehen der bei positivem Radikant kann nun eindeutig durchgeführt

Beispiele: <math>\sqrt[]{2} \sqrt[3]{17}</math> π e

• Komplexe Zahlen (Symbol: <math>\mathbb{C}</math>)

Trotz der Erweiterung auf die reellen ist es noch nicht möglich alle Gleichungen lösen. So lässt sich die Gleichung x ² = -1 nach wie vor nicht da das Quadrat reeller Zahlen stets positiv Um diesem Problem entgegenzuwirken war eine neuerliche des Zahlenbereichs auf die komplexen Zahlen notwendig. Grundlage ist die Einführung einer imaginären Zahl deren Quadrat -1 ergibt (<math>i^2</math> = -1). Zahlen bestehen aus einem reellen und einem Teil.

Beispiele: 15 + 3i 4 -

• Quaternionen Hyperkomplexe oder Hamilton-Zahlen (Symbol: <math>\mathbb{H}</math>)

Diese Zahlen die durch die Elemente Quaternionenrings dargestellt werden sind die Erweiterung der Zahlen. Sie bilden in ihrer algebraischen Struktur einen Schiefkörper da sie nicht kommutativ sind. Ihre Darstellung erfolgt in Form drei Imaginärteilen.

Beispiele: 5 + 3i + 9j 4k -8 + 6i - 3j +

• Oktaven oder Cayley-Zahlen (Symbol: <math>\mathbb{O}</math>)

Die Oktaven stellen eine achtdimensionale Erweiterung reellen Zahlen (ein zweidimensionales Element des Quaternionenrings) Sie sind nicht immer assoziativ (alternatives System) aber der höchstdimensionale Zahlenbereich dem reelle Algebra (gekennzeichnet durch eindeutig ausführbare möglich ist sie bilden eine Divisionsalgebra .

Beispiele: 7 + 8i + 3j 12k + 4E - 8I - 9J 12K

Wenn wir uns einen Überblick über Zahlenbereiche von den natürlichen Zahlen bis zu Oktaven verschaffen stellen wir folgende allgemeingültige Beziehung den einzelnen Bereichen fest: <math>\mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \mathbb{Q} \sub \mathbb{R} \sub \mathbb{C} \sub \mathbb{H} \mathbb{O}</math>

• Sedenionen (Symbol: <math>\mathbb{S}</math>)

Die Sedenionen sind ein Zahlenbereich mit Dimensionen. Sie fallen jedoch aus dem normalen da sie keine reelle Algebra mehr zulassen. gelten weder Kommutativ- noch Assoziativgesetz statt dessen sie so genannte Null-Divisoren.

Es gibt Gründe zu denken daß "Zahlen" außerhalb <math>\mathbb{C}</math> nicht suchen sollte:

(1) Die erwähnten Systeme <math> \mathbb{H}</math> <math> \mathbb{O}</math> sind nicht Körper. Im gewöhnlichen haben wir uns an es gewöhnt die des Körpers zu verwenden und fordern. Es doch für die Körper der rationalen Zahlen Körpererweiterungen in anderen Richtungen als in die und komplexen Zahlen nämlich in die Körper p -adischen Zahlen und dessen algebraischen Ergänzungen.

(2) Das Theorem von Gelfand-Tornheim ( http://planetmath.org/encyclopedia/GelfandTornheimTheorem.html ) sagt daß die einzigen wesentlichen normierten Körper <math> \mathbb{R}</math> und <math> \mathbb{C}</math> sind. erzeugt als Korollar daß der absolute Betrag in den Unterkörpern von <math> \mathbb{C}</math> definiert

• Sonstige Zahlenbereiche

Bezeichnung	Symbol	Definition
natürliche Zahlen ab k	N k	{ k k +1 k +2 ...}
natürliche Zahlen zwischen u und o	N u o	{ u u +1 u +2 ... o}
gerade Zahlen	G	{-4 -2 0 2 4 ...}
positive gerade Zahlen	G +	{0 2 4 ...}
negative gerade Zahlen	G -	{-2 -4 ...}
ungerade Zahlen	U	{-5 -3 -1 1 3 5
positive ungerade Zahlen	U +	{1 3 5 ...}
negative ungerade Zahlen	U -	{-1 -3 -5 ...}
Primzahlen	P	{2 3 5 7 11 ...}
hyperreelle Zahlen	*R
surreale Zahlen	Sω

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