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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMontag, 20. Januar 2020 

Folge (Mathematik)


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In der Mathematik ist eine Folge eine Abbildung f der natürlichen Zahlen in eine Menge A im engeren Sinne meist auf die reellen Zahlen .

<math> f: \mathbb{N} \rightarrow A </math> <math> f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} </math>

Das i -te Folgenglied <math>a_i</math> wird folgendermaßen definiert:

<math>a_i := f(i) \quad i\in\mathbb{N}</math>

Von wesentlicher Bedeutung für die Analysis die unendlichen Folgen und ihre Grenzwerte .

Wenn man die Glieder einer Folge erhält man eine Reihe .

Die Folge ( a i ) muss man von der Bildmenge f ( N ) = { a i | i aus N } unterscheiden.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Folgen in den rationalen Zahlen

Die Inversen :
<math>a_i = {1 \over i} \Rightarrow \ a_2=\frac{1}{2}=0.5 \ a_3=\frac{1}{3}=0.\bar{3} \ \dots</math>

Eine gegen 1 konvergierende Folge:
<math>a_i = 1 - \frac{1}{2^i} \Rightarrow \ a_2=\frac{3}{4}=0.75 \ a_3=\frac{7}{8}=0.875 \ a_4=\frac{15}{16}=0.9379 \

Eine rekursiv definierte Folge rationaler Zahlen die gegen konvergiert:
<math>a_i = 2 a_{i+1} = \frac{1}{a_i} \frac{a_i}{2} \Rightarrow a_1 = 2 \ a_2 \frac{3}{2} = 1.5 \ a_3 = \frac{17}{12} 1.41\bar{6} \ \ldots</math>

Folgen in den ganzen Zahlen

Die natürlichen Zahlen:
<math>a_i = i \Rightarrow a_1=1 \ \ a_3=3 \ \dots</math>

Die Dreieckszahlen:
<math>a_i = \frac{i(i+1)}{2} \Rightarrow a_1=1 \ \ a_3=6 \ a_4=10 \ a_5=15 \ \ a_7=28 \ \dots</math>

Die Quadrate der natürlichen Zahlen:
<math>a_i = i^2 \Rightarrow a_1=1 \ = 4 \ a_3=9 \ a_4=16 \ \ a_6=36 \ a_7=49 \ a_8=64 \

Die Folge der ganzzahligen Zweierpotenzen:
<math>a_i = 2^i \Rightarrow a_0=1 \ \ a_2=4 \ a_3=8 \ a_4=16 \ \ a_6=64 \ a_7=128 \ \dots</math>

Die Primzahlen :
<math> a_1 = 2 \ a_2 3 \ a_3 = 5 \ a_4 7 \ a_5 = 11 \ a_6 13 \ a_7 = 17 \ a_8 19 \ a_9 = 23 \ a_{10} 29 \ \dots </math>

Die Fibbonacci - Folge:
<math>a_i = a_{i-2} + a_{i-1}</math> mit = 1</math>und <math> a_1 = 1 \Rightarrow = 0 \ a_1 = 1 \ = 1 \ a_3 = 2 \ = 3 \ a_5 = 5 \

Die quadratischen Reste (zu einer natürlichen b mit b>1):
<math>a_{i+1} = (a_i + (2i+1)) \mod </math> mit <math>a_0 = 0 </math> <math> a_0= 0 \ a_1 = 1 \ = 4 \mod b \ \dots</math>

Die ungeraden natürlichen Zahlen :
<math>a_i = 2\cdot i-1 \Rightarrow a_1 1 \ a_2 = 3 \ a_3 5 \ \dots</math>

Eine alternierende Folge:
<math>a_i = (-1)^{i} \Rightarrow a_1 = \ a_2 = 1 \ a_3 = \ a_4 = 1 \ \ldots</math>

Folgen in Mengen ("Mengenfolgen")


<math>a_i = \{1 \dots i\} \Rightarrow \ a_2=\{1 2\} \ a_3=\{1 2 3\} \dots</math>

Weblinks



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