Zahlentheoretische Funktion

Ganz allgemein ist eine zahlentheoretische Funktion eine Funktion von N nach C . In der Regel interessiert man sich nur für solche Funktionen die eine gewisse für die Zahlentheorie haben.

Die zahlentheoretischen Funktionen bilden mit der Addition und skalaren Multiplikation einen Vektorraum über C . Bezüglich der komponentenweisen Addition und der (siehe unten) bilden die zahlentheoretischen Funktionen einen Integritätsring .

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele 2 Multiplikative Funktionen 3 Additive Funktionen 4 Faltung

Beispiele

• Die Teileranzahlfunktion <math>\tau(n):=\sum_{d|n}1</math> die die Anzahl aller einer Zahl angibt.
• Die Teilersummenfunktion <math>\sigma(n):=\sum_{d|n}d</math> die die Summe aller Teiler Zahl angibt.
• Die Eulersche φ-Funktion <math>\phi(n):=\#\{d\in\{1 \dots n\}:\mbox{ggT}(d n)=1\}</math> die die der zu n teilerfremden Zahlen angibt.
• Die Primzahlfunktion <math>\pi(n)=\#\{p\leq n\}</math> die die Anzahl Primzahlen kleiner n angibt.
• Die Möbiussche μ-Funktion (siehe Abschnitt über Faltung)
• Die p-adische Exponentenbewertung <math>\nu_p(n)</math>.

Multiplikative Funktionen

Eine Funktion heißt multiplikativ wenn gilt: f ( ab )= f ( a )· f ( b ) für a b teilerfremd . Sie heißt streng multiplikativ wenn man die zusätzliche Bedingung der weglassen kann.

Beispiele für multiplikative Funktionen sind die die Teilersummenfunktion und die eulersche φ-Funktion. Streng ist beispielsweise die Identität.

Für multiplikative Funktionen hat man die charakterisierende Eigenschaft:

<math>f</math> multiplikativ <math>\iff f(n)=\prod_{p\in\mathbb{P}}f\left(p^{\nu_p(n)}\right)</math>

Additive Funktionen

Eine Funktion heißt additiv wenn gilt: f ( ab )=f( a )+f( b ) für a b teilerfremd. Sie heißt streng additiv wenn man die zusätzliche Bedingung der weglassen kann.

Ein Beispiel für eine additive Funktion die p-adische Exponentenbewertung. Aus jeder multiplikativen Funktion sich eine additive Funktion konstruieren indem man Ergebnis logarithmiert. Präziser: Wenn f (streng) multiplikativ ist so ist <math>\log\circ eine (streng) additive Funktion.

Faltung

Die Faltung zweier Funktionen ist definiert als

<math>(f*g)(n):=\sum_{d|n}f(\frac{n}{d})g(d)</math>

Die Funktion F := f *1 bezeichnet man als die summatorische Funktion von f . Dabei bezeichnet 1 die Funktion die 1 ist.

In diesem Zusammenhang ist die (multiplikative) μ-Funktion interessant:

<math>\mu(n):=\left\{\begin{matrix}

Mit Hilfe der Möbiusschen μ-Funktion kann aus der summatorischen Funktion F die ursprüngliche Funktion f zurückgewinnen indem man F *μ berechnet.

Siehe auch den allgemeineren Artikel Faltung (Mathematik) .

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