Zahlentheorie

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Arbeitsgebiete

Je nach Fragestellung und Anwendungsmethoden wird Zahlentheorie in folgende Arbeitsgebiete unterteilt.

Die elementare Zahlentheorie kommt ohne die Hilfsmittel anderer mathematischer aus. In diesen Bereich fallen Fragen der Teilbarkeit der Euklidische Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers Verfahren zu Faktorisierung von Zahlen in ihre Primfaktorzerlegung sowie Untersuchungen zu vollkommenen Zahlen und Kongruenzen .

Typische Sätze sind der kleine Satz von Fermat und dessen Verallgemeinerung der Satz von Euler sowie der Chinesische Restsatz und das Quadratische Reziprozitätsgesetz .

Des weiteren werden zahlentheoretische Funktionen wie etwa die Möbiusfunktion und die Eulersche Phi-Funktion sowie Zahlenfolgen wie beispielsweise Fakultät und Fibonacci-Zahlen untersucht.

Die analytische Zahlentheorie nutzt Elemente der Analysis und der Funktionentheorie . Der Primzahlsatz und die Riemannsche Vermutung sind wichtige Beispiele. Aber auch Problemstellungen elementaren Zahlentheorie werden oftmals mit analytischen Methoden wie z.B. das Waring'sche Problem (Darstellung einer ganzen Zahl als Summe Quadraten Kuben etc.) die Vermutung über die Primzahlzwillinge (Gibt es unendlich viele Primzahlpaare mit und die Goldbachsche Vermutung (Kann jede gerade Zahl als Summe Primzahlen geschrieben werden?)

Daneben dienen Methoden der analytischen Zahlentheorie dazu die Transzendenz vom Zahlen wie der Kreiszahl π oder der Eulerschen Zahl e nachzuweisen.

Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen Zahlen hinaus betrachtet den Körper der algebraischen Zahlen das Wurzeln von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Diese enthalten eine den ganzen Zahlen analoge Teilmenge Ring der ganzalgebraischen Zahlen. Etliche vertraute Eigenschaften ganzen Zahlen gelten hier aber nicht mehr die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung oder die Existenz größten gemeinsamen Teilers).

Oftmals stellt es sich als fruchtbar Fragen modulo aller Primzahlen p zu betrachten. Dieser Vorgang den man Lokalisation nennt führt zu den p-adischen Zahlen .

Bekanntester Satz ist der große Fermatsche Satz der mit Hilfe von Elliptischen Kurven bewiesen wurde.

Im Zentrum der geometrische Zahlentheorie auch Geometrie der Zahlen genannt steht der Minkowskische Gitterpunktsatz eine über Gitter und konvexe Mengen. Fragen der dichtesten Packung von Kugeln und Fragen über Elliptische Kurven werden ebenfalls behandelt.

Die algorithmische Zahlentheorie ist ein Zweig der Zahlentheorie der dem Aufkommen von Computern auf breites Interesse Die algorithmische Zahlentheorie beschäftigt sich damit wie Probleme algorithmisch effizient umgesetzt werden können. Wichtigste sind die Frage ob eine große Zahl prim ist die Faktorisierung großer Zahlen und der eng damit Frage nach einer effizienten Berechnung des diskreten Logarithmus .

Anwendungen finden sich in der Kryptographie insbesondere bei der Frage nach der Sicherheit der Datenübertragung im Internet .

Geschichte der Zahlentheorie

Die ersten schriftlichen Nachweise der Zahlentheorie bis ca. 2000 v. Chr. zurück. Die Babylonier kannten in dieser Zeit bereits die kleiner einer Million sowie Quadrate und den Satz des Pythagoras .

Im antiken Griechenland fand die Zahlentheorie zu einer neuen Blüte vor allem durch Leute nämlich Euklid und Diophantus . Ersterer lebte ca. 200 Jahre vor und ist der Verfasser der " Elemente " einem 13-bändigen Werk. Die Bände 7 und 9 beschäftigen sich dabei mit zahlentheoretischen u.a. der Definition der Primzahl einem Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers ( Euklidischer Algorithmus ) und einem Satz über die Existenz vieler Primzahlen ( Satz von Euklid ).

Diophantus lebte vermutlich etwa 300 Jahre Christus. Er beschäftigte sich in seinem Werk mit den Lösungsmengen von unterschiedlichen algebraischen Gleichungen . Derartige Gleichungen sind uns heute unter Namen Diophantsche Gleichungen bekannt.

Im 17. Jahrhundert lebte Pierre de Fermat welcher durch Diophantus' Werk stark inspiriert

Wird noch weiter ergänzt...

Wichtige Zahlentheoretiker

• Diophant von Alexandrien
• Euklid
• Paul Erdös
• Leonhard Euler
• Pierre de Fermat
• Carl Friedrich Gauß
• Joseph-Louis Lagrange
• Adrien-Marie Legendre
• Marin Mersenne
• Bernhard Riemann

Diese Sammlung sollte noch erweitert werden.

siehe auch: Ungelöste Probleme der Mathematik

Bücher zum Thema Zahlentheorie

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