Zeitdilatation

Bei der Zeitdilatation handelt es sich um ein Phänomen speziellen Relativitätstheorie (SRT).

Man betrachte zwei gegeneinander gleichförmig bewegte Inertialsysteme (d.h. sie bewegen sich relativ zueinander konstanter Geschwindigkeit ).

Das eine System wird als ruhend Es wird im folgenden mit S bezeichnet. Hier befindet sich ein Beobachter die Bewegung des anderen Systems verfolgt. Für Beobachter ruht sein Inertialsystem während sich das ihn bewegte System mit der Geschwindigkeit v entfernt.

Das für den Beobachter bewegte System im folgenden mit <math>S'</math> bezeichnet.

Ereignisse in dem sich entfernenden System durch die Koordinaten (t' x') beschrieben Ereignisse in dem System" durch die Koordinaten (t x).

Ein solches Ereignis ist z.B. die einer Uhr zu einem bestimmten Zeitpunkt . Eine in dem bewegten System ruhende Uhr hat zu allen Zeiten <math>t'</math> die gleiche Ortskoordinate <math>x'</math>. In S hat sie zu verschiedenen Zeiten t unterschiedliche Koordinaten x da sich <math>S'</math> relativ zu S bewegt.

t bzw. <math>t'</math> sind die Zeitkoordinaten in Systemen S bzw. <math>S'</math> x bzw. <math>x'</math> die Ortskoordinaten in S bzw. <math>S'</math>.

In <math>S'</math> befinde sich ebenfalls ein er werde im Folgenden als Reisender bezeichnet.

Insbesondere bedeutet diese Wahl der Koordinaten nur eindimensionale Bewegungen betrachtet werden. Das System <math>S'</math> sich entlang der x-Achse des Systems S in positive Richtung.

Zum Zeitpunkt <math> t = t' 0 </math> sollen beide Systeme übereinanderliegen. Zum dt hat sich <math>S'</math> für den Beobachter S um die Strecke v*dt entfernt.

Mit dem Ursprung von <math>S'</math> sei eine Uhr verknüpft zu irgendeinem früheren Zeitpunkt mit einer Zwillingsuhr S geeicht wurde hierfür wird insbesondere angenommen beide Systeme zu diesem früheren Zeitpunkt relativ in Ruhe waren. Das System <math>S'</math> wurde relativ zu S auf die Geschwindigkeit v beschleunigt.

Die Zeit in <math>S'</math> bezeichnet man als die Eigenzeit von <math>S'</math>. Für einen Beobachter in S misst also die Uhr in <math>S'</math> Eigenzeit des Systems <math>S'</math>.

Während der Zeit dt (gemessen in S ) bewege sich <math>S'</math> gleichförmig mit der v . Für den Beobachter in S legt das System <math>S'</math> während der dt die Entfernung vdt zurück.

Für den Reisenden in <math>S'</math> stellen die Verhältnisse anders dar. Für ihn vergeht Zeit <math>d \tau = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot dt</math>. Man dieses Phänomen als Zeitdilatation .

c ist das Symbol für die konstante Lichtgeschwindigkeit . Für v->c konvergiert die Eigenzeit gegen Null.

Der Reisende trifft auch eine andere über den zurückgelegten Weg für ihn erscheinen Entfernungen die der Beobachter in S misst verkürzt.

Man bezeichnet dieses Phänomen als Längenkontraktion .

Dies erklärt z.B. dass er weniger braucht um einen Weg zurückzulegen als der in S vermutet.

Die mit <math>S'</math> mitbewegte Uhr ist "innere Uhr" dieses System.

Für v->c konvergieren für den Reisenden alle Entfernungen Null.

Wichtig ist bei diesen Überlegungen Folgendes:

Die Beschleunigung die das System <math>S'</math> relativ zu S erfahren hat wird nur von dem in <math>S'</math> wahrgenommen (die dadurch hervorgerufenen Trägheitskräfte wirken ausschließlich in <math>S'</math>). Der Beobachter S sieht zwar das System <math>S'</math> beschleunigt aber keine Trägheitskraft. In diesem Sinne sind beiden Systeme nicht gleichwertig wenn sie sich zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegen.

In dem früher beschleunigten System wird Längenkontraktion hinsichtlich zurückzulegender Entfernungen beobachtet (für den in S ändern sich Entfernung die <math>S'</math> zurückzulegen nicht). Dafür scheint die bewegte Uhr in für den Beobachter in S langsamer zu gehen für den Reisenden seine Uhr er merkt keinen Unterschied.

Damit die ganze Beschreibung etwas realistischer betrachte man z.B. kosmische Strahlung die auf die Erdatmosphäre trifft. Unter Bedingungen werden dabei so genannte Mesonen freigesetzt die sich mit "großer Geschwindigkeit" Aus Beschleunigerexperimenten kennt man die Lebenserwartung solcher Elementarteilchen und kann hieraus schließen welchen Weg in der Atmosphäre zurücklegen können auf keinen würde man sie auf der Erdoberfläche vermuten.

Da man sie auf der Erdoberfläche kann haben die schnell bewegten Mesonen eine Lebenserwartung als erwartet. Die "innere Uhr" der scheint langsamer zu gehen als wären sie Ruhe.

Ein anderes (etwas hypothetisches) Beispiel wäre Bewegung eines Raumschiffes das von der Erde startet einen Planeten ansteuert und wieder zurückkommt:

Ein Raumschiff startet von der Erde fliegt mit der konstanten Beschleunigung von <math> 1g = 9 81 </math> zur Wega (Entfernung 28 Lichtjahre ). Auf halber Strecke ändert das Raumschiff Vorzeichen der Beschleunigung und verzögert mit 1g . Nach Abschluss einer 6 monatigen Aufenthaltsdauer das Raumschiff auf gleiche Weise zur Erde

In verschiedenen Lehrbüchern zur Relativitätstheorie werden zur Berechnung der vergangenen Zeiten angegeben.

Eine Auswertung dieser Formeln ergab folgendes:

Für den Reisenden vergehen 13 Jahre Monate und 11 Tage

Auf der Erde ist bei der des Raumschiffes folgende Zeit vergangen: 60 Jahre Monate 4 Tage

Wesentlich extremere Unterschiede bekommt man bei Flug zum Andromedanebel der etwa 2000000 Lichtjahre entfernt ist gleichen Beschleunigungs- und Verzögerungsphasen):

Für die Erde vergehen etwa 4000000 während für den Reisenden ungefähr 56 Jahre sind

Die Beschleunigung von 1g wurde gewählt da hierdurch irdische Gravitationsverhältnisse Bord eines Raumschiffes simuliert werden könnten.

Im freien Fall könnten unter Umständen höhere Beschleunigungswerte erzielt werden ohne dass ein dies überhaupt bemerken würde z.B. im Anziehungsbereich Galaxie.

Literatur

• Thomas Cremer: Interpretationsprobleme der speziellen Relativitätstheorie Verlag Harri Deutsch 1990
• Walter Greiner Johann Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie Verlag Harri Deutsch 1989

Bücher zum Thema Zeitdilatation

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