Zentraler Grenzwertsatz

Die wichtigste und bekannteste Aussage wird einfach als Der Zentrale Grenzwertsatz bezeichnet und befasst sich mit unabhängigen verteilten Zufallsvariablen deren Erwartungswert und Varianz endlich sind.

Es existieren verschiedene Verallgemeinerungen für die identische Verteilung keine notwendige Voraussetzung ist. Stattdessen dann eine andere Voraussetzung gefordert die sicherstellt keine der Variablen zu großen Einfluss auf Ergebnis erhält. Beispiele sind die Lindeberg-Bedingung sowie die Lyapunov-Bedingung . Darüber hinausgehende Verallgemeinerungen gestatten sogar "schwache" der Zufallsvariablen.

"Der" Zentrale Grenzwertsatz

Sei X ₁ X ₂ X ₃ ... eine Folge von Zufallsvariablen die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum alle die gleiche Verteilung D aufweisen und unabhängig sind. Sei weiter angenommen dass sowohl Erwartungswert μ als auch die Standardabweichung σ existieren und endlich sind.

Betrachten wir nun die n-te Teilsumme Zufallsvariablen <math>S_n = X_1 + X_2 + + X_n</math>. Der Erwartungswert von S _n ist n μ und die Standardabweichung ist σ n ^½ .

Die Verteilung von S _n geht dann - gewissermaßen - für n gegen ∞ gegen die Normalverteilung N( n μ σ ² n ).

Nun ist eine Verteilung mit unendlicher und möglicherweise ebenso unendlichem Erwartungswert nicht unbedingt von Interesse weshalb es sich hier anbietet Zufallsvariablen bzw. deren Summe zu normieren. Dazu wir

<math>Z_n = \frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}}</math>

Damit konvergiert die Verteilung von Z _n für n gegen ∞ gegen die Standardnormalverteilung N(0 1). Ist Φ( z ) die Verteilungsfunktion von N(0 1) bedeutet dies dass jedes reelle z

<math>\lim_{n \to \infty} \mbox{Ws}(Z_n \le z) = </math>

<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\mbox{Ws}\left(\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\leq z\right)=\Phi(z)</math>

<math>\overline{X}_n=S_n/n=(X_1+\cdots+X_n)/n</math>

Existiert das dritte zentrierte Moment E(( X ₁ -μ) ³ ) und ist endlich dann ist diese sogar gleichmäßig und die Konvergenzgeschwindigkeit ist wenigstens der Ordnung 1/ n ^½ (Satz von Berry-Esséen).

Externer Link

• http://ismi.math.uni-frankfurt.de/kersting/lecturenotes/Stochastik.pdf
  • Skript zur Vorlesung Elementare Stochastik (dort ab
• http://www.statistik.tuwien.ac.at/public/dutt/vorles/inf_bak/node43.html
  • Ein Beispiel zur Verdeutlichung des Zentralen

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