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Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft


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Die Zentripetalkraft ist eine physikalische Kraft die an einem Körper angreift der auf einer kreisförmigen Bahn bewegt. Sie hält Körper auf seiner Kreisbahn und ist nach zum Kreismittelpunkt bzw. zur Drehachse gerichtet.

Bekannter als die Zentripetalkraft ist die Zentrifugalkraft die auch als Fliehkraft bezeichnet wird. Sie hat denselben Betrag die Zentripetalkraft ist jedoch nach außen vom oder der Achse weg gerichtet. Die Zentrifugalkraft eine Trägheitskraft bzw. Scheinkraft .

Zentrifugalkräfte und Zentripetalkräfte greifen nicht immer am Schwerpunkt des Körpers an.

Technische Anwendungen der Zentrifugalkraft sind die Zentrifuge und der Fliehkraftregler

Inhaltsverzeichnis

Die Zentripetalkraft als Ursache der Kreisbewegung

Nach dem Galileischen Trägheitsprinzip haben alle eine ihnen innewohnende Trägheit. Jeder Körper behält diesem Prinzip seine Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung für Zeiten bei sofern keine äußeren Einflüsse auf einwirken. Eine solche geradlinig gleichförmige Bewegung benötigt also keine Ursache.

Die äußeren Einflüsse erklärte Isaac Newton durch Kräfte. Jede geschwindigkeits- und Richtungsänderung nach ihm durch eine solche Kraft erklärt. man eine Richtungsänderung so weist die Kraft immer in Richtung der Ablenkung.

Um einen Körper auf eine Kreisbahn ja nicht geradlinig ist) zu zwingen wird beständige Ablenkung in Richtung des Mittelpunktes benötigt. wird als Zentripetalkraft bezeichnet. Diese Kraft ist daher die Ursache der Kreisbewegung.

Beobachter auf Kreisbahnen spüren Zentrifugalkräfte

Für den Erwachsenen der einem Kind Karussell vom Rand aus zuschaut existieren keine Er wird als ruhend bezeichnet. Das Kind im Karussell wird die nach innen wirkende Zentripetalkraft abgelenkt und sich dadurch mit seinem Karussellsitz im Kreis.

Das Kind selbst spürt jedoch im wie es durch eine Kraft zum Außenrand Sitzes gedrückt wird. Glücklicherweise haben alle Kinderkarusselle drehbare Aufhängung so dass der Sitz sich der Aufhängung neigt. Wären die Sitze nicht aufgehängt so würde das Kind tatsächlich nach gedrückt. Diese Kraft ist die Zentrifugalkraft .

Zentrifugalkräfte hängen vom Bewegungszustand des Beobachters Da sie für ruhende Beobachter nicht vorhanden gehören sie stets zu den Scheinkräften . Scheinkräfte treten nur in beschleunigten Bezugssystemen auf. Eine Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit aus physikalischer Sicht beschleunigt da sich die der Bewegung beständig ändert.

  

Beobachter und Bezugssysteme

Beobachter

Die Zentrifugalkraft war nur für das im Karussell spürbar. Der Erwachsene der dem zuschaut sieht nur die Zentripetalkraft die den und mit ihm das Kind auf eine zwingt. Das Kind beobachtet sich selbst es Beobachter genannt. Auch der Erwachsene am Rand Beobachter.

Kräfte im Karussell

Für die beiden Beobachter treten unterschiedliche auf:

  • Der Erwachsene sieht die Kreisbahn die Zentripetalkraft für ihn die Ursache dieser Bahn.
  • Das Kind sieht sich jedoch genau genommen auf einer Kreisbahn. Stattdessen rotiert der Jahrmarkt es herum auch der Erwachsene. Der Sitz sich jedoch aus der Sicht des Kindes Wenn also eine Zentrifugalkraft wirkt die es wahrnimmt so muss eine entgegen gerichtete gleich Kraft diese gerade aufheben. Dies ist die

Hält das Kind einen Apfel in Hand und lässt ihn los so bewegt sich aus seiner Sicht nach außen. Auch macht es die Zentrifugalkraft verantwortlich. Der Erwachsene Rand sieht den Apfel jedoch tangential davonfliegen. Da er geradlinig davonfliegt sind den Erwachsenen keine Kräfte erforderlich.

Scheinkräfte

Die Betrachtung des Karussellbeispiels ergibt:

  • Beide Beobachter Kind und Erwachsener nehmen die wahr.
  • Nur das Kind nimmt die Zentrifugalkraft wahr.

Die Zentrifugalkraft ist also abhängig vom Da nur das Kind sie wahrnimmt nennt sie Scheinkraft . Die Zentripetalkraft wird von beiden Beobachtern Sie ist keine Scheinkraft.

Bezugssysteme

Ein Beobachter bezieht sich auf seinen Will er die Position anderer Objekte angeben er ein Koordinatensystem verwenden in dessen Nullpunkt er sich befinden. Ein solches Koordinatensystem in dessen Nullpunkt ein – realer oder angenommer – Beobachter befindet heißt Bezugssystem .

Im Bezugssystem des Kindes tritt die und Zentrifugalkraft auf es treten also auch auf. Im Bezugssystem des Erwachsenen tritt nur Zentripetalkraft auf die keine Scheinkraft ist.

Bezugssysteme in denen keine Scheinkräfte auftreten man auch Inertialsysteme . Der Erwachsene befindet sich in einem Inertialsystem (wenn man von der sehr kleinen absieht). Das Kind befindet sich nicht in Inertialsystem sondern in einem rotierenden Bezugssystem.

Mathematische Grundlagen

Berechnung

Für einen Körper der Masse m der sich im Abstand r mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn bewegt ist der der Zentripetalkraft:

<math>F_Z=\frac{m \cdot v^2}{r}</math> (Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft)

Sie ist nach innen gerichtet. Die Zentrifugalkraft hat den gleich Betrag und ist nach außen gerichtet.

Mit der Kreisfrequenz <math>\omega</math> ist der Betrag der Geschwindigkeit r</math> die Zentripetalkraft kann also auch so werden:

<math>F_Z=m \omega^2r</math> (Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft)

Darstellung als Vektorprodukt

Verwendet man die Vektoren <math>\vec{r}</math> für Abstand und <math>\vec{\omega}</math> für den Drehvektor so man die Zentripetalkraft mit dem Vektorprodukt darstellen:

<math>\vec{F_Z}=m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})</math> (Zentripetalkraft)

Die Zentrifugalkraft ist dieselbe Kraft mit negativem Vorzeichen.

<math>\vec{F_Z}=-m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})</math> (Zentrifugalkraft)

Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung

In den Formeln taucht die Masse m als Faktor auf. Ein doppelt so Körper erfährt daher die doppelte Kraft. Kräfte aber wegen Kraft=Masse x Beschleunigung zu Beschleunigungen. Beschleunigung auf einer bestimmten Kreisbahn ist für Körper gleich unabhängig von seiner Masse:

<math>a_Z=\frac{v^2}{r}</math> (Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung)

bzw.

<math>a_Z=\omega^2 \cdot r</math> (Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung)
  

Rotierende Bezugssysteme

In rotierenden Bezugssystemen treten Zentrifugalkräfte und als Scheinkräfte auf.

Beobachtung eines ruhenden Körpers aus dem Bezugssystem

Ein im ruhenden Bezugssystem (einem Inertialsystem ) kräftefreier Körper hat eine konstante Geschwindigkeit. man an dass er dort im Abstand von der Achse eines rotierenden Bezugssystems ruht beschreibt er im rotierenden System einen Kreis dem Radius <math>r</math>. Hierzu wäre eine zur gerichtete Zentripetalkraft von der Größe <math>mv^2/r</math> nötig die Beobachter im rotierenden System als die Ursache Kreisbewegung annimmt. Im ruhenden System ist der aber kräftefrei die Zentripetalkraft ist dort nicht Sie ist daher eine Scheinkraft .

Beobachtung eines mitrotierenden Körpers

Ist der Beobachter im rotierenden System Abstand <math>r_b</math> von der Achse entfernt und selbst die Masse <math>m_b</math> so spürt er Zentrifugalkraft die ihn nach außen zieht. Er also eine Gegenkraft die Zentripetalkraft auf um nicht nach außen zu Da er sich als ruhend empfindet ist Gesamtkraft für ihn dann Null.

Im ruhenden System ist klar dass Kraft durch die kreisförmige Bewegung mit <math>v_b</math> wird und der Beobachter durch eine Zentripetalkraft <math>m_bv_b^2/r_b</math> auf seiner Kreisbahn gehalten wird. Zentrifugalkraft fehlt hier die Bewegung ist ja gleichförmig und der Beobachter nicht kräftefrei. Die ist hier also Scheinkraft.

Zusammenfassung

Beobachter steht Objekt rotiert Beobachter rotiert Objekt steht Beobachter rotiert Objekt rotiert mit
Kräfte am Objekt Zentripetalkraft Zentripetalkraft Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft
Scheinkraft nein ja Die Zentrifugalkraft ist Scheinkraft die Zentripetalkraft
Inertialsystem ja nein nein

Beobachtung eines bewegten Körpers aus dem Bezugssystem

Ein kräftefreier Körper bewegt sich im Bezugssystem geradlinig. Der Abstand <math>r</math> zur Achse rotierenden Systems ändert sich also. Der rotierende nimmt wie beim ruhenden Körper eine sich aber ändernde Zentripetalkraft zur Drehachse an.

Zusätzlich tritt jedoch eine Ablenkung quer Bewegungsrichtung auf. Diese rührt daher dass der im rotierenden System verschiedene Geschwindigkeitsbereiche durchläuft. Nach wird die Umlaufgeschwindigkeit immer größer. Entfernt sich Körper von der Drehachse so müsste er Drehrichtung beschleunigt werden um "mithalten" zu können. bleibt also gegenüber dem Bezugssystem zurück. Der Beobachter nimmt eine Beschleunigung entgegen der Drehrichtung deren Ursache er auf eine Kraft die Corioliskraft zurückführt. Diese ist also der Drehrichtung

Nähert sich der Körper der Drehachse er entsprechend abgebremst werden. Hier wirkt die Corioliskraft also in Drehrichtung.



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