Zentrum (Gruppentheorie)

Formale Definition

Formal schreibt man

Z( G ) := { z in G | ∀ g in G : gz = zg }

Das Zentrum von G ist eine Untergruppe denn sind x und y aus Z( G ) dann gilt für jedes g aus G

(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy)

Also liegt xy im Zentrum. Analog zeigt man dass x ^-1 im Zentrum liegt. Das neutrale Element Gruppe liegt stets im Zentrum.

Eigenschaften

Das Zentrum ist abelsch und ein Normalteiler von G es ist sogar eine charakteristische Untergruppe von G . Ist G selbst abelsch dann ist Z( G ) = G .

Das Zentrum besteht aus genau den z von G für die die Konjugation mit z ( g → z ^-1 gz ) die identische Abbildung ist.

Beispiele

• Ist eine Gruppe G abelsch dann ist ihr Zentrum die Gruppe.

• Das Zentrum der symmetrischen Gruppe S ₃ = {id (1 2) (1 3) 3) (1 2 3) (1 3 2)} nur aus dem neutralen Element id denn:

  (1 2)(1 3) = (1 3 ≠ (1 3)(1 2) = (1 2

  (1 2)(2 3) = (1 2 ≠ (2 3)(1 2) = (1 3

  (1 2 3)(1 2) = (1 ≠ (1 2)(1 2 3) = (2

  (1 3 2)(1 2) = (2 ≠ (1 2)(1 3 2) = (1

• Die Diedergruppe D ₈ besteht aus den Bewegungen der Ebene ein fest gewähltes Quadrat unverändert lassen. Es dies die Drehungen um den Mittelpunkt des um Winkel von 0° 90° 180° und sowie vier Spiegelungen an den beiden Diagonalen den beiden Mittelparallelen des Quadrats. Das Zentrum Gruppe besteht genau aus den beiden Drehungen 0° und um 180°.

• Das Zentrum der multiplikativen Gruppe der n × n - Matrizen mit Einträgen in den reellen Zahlen aus den reellen Vielfachen der Einheitsmatrix .

Siehe auch Zentrum (Algebra) für weitere der abstrakten Algebra .

Bücher zum Thema Zentrum (Gruppentheorie)

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