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Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre


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Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine verbreitete Axiomatisierung der Mengenlehre . Sie baut auf den Axiomen der und Prädikatenlogik und zusätzlichen mengentheoretischen Axiomen auf und nach Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel benannt. ist heute Grundlage fast aller Zweige der

Dieses Axiomensystem ist das Ergebnis einer von Thoralf Skolem 1922 die auf Arbeiten von Abraham Fraenkel dem gleichen Jahr basiert welche wiederum auf Axiomensystem aufbaut das Ernst Zermelo 1908 aufgestellt hatte (Zermelo-Mengenlehre).

Ohne Auswahlaxiom wird diese Mengenlehre meist ZF abgekürzt mit Auswahlaxiom kürzt man es ZFC ab (engl. Zermelo-Fraenkel + Choice ).

Die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sind Aussagen Prädikatenlogik. Es gibt unendlich viele Axiome denn der "Axiome" ist ein Axiomenschema d.h. ein der zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften Axiom angibt.

  • Extensionalitätsaxiom: Zwei Mengen sind genau dann wenn sie dieselben Elemente enthalten.
  • Axiom der leeren Menge: Es gibt Menge ohne Elemente. Diese wird meist als oder <math>\empty</math> geschrieben.
  • Paarungsaxiom: Wenn x y Mengen sind dann gibt es eine z die genau x und y als Elemente hat (man schreibt diese z als { x y }).
  • Vereinigungsaxiom: Für jede Menge x gibt es eine Menge y deren Elemente genau die Elemente der von x sind. ( y ist die Vereinigung der Elemente von x .)
  • Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge x die {} enthält und mit jedem y auch die Menge y ∪ { y } enthält. (Der Schnitt aller dieser Mengen die Menge der natürlichen Zahlen.)
  • Ersetzungsaxiome: Für jede Menge m und jede Abbildung P (definiert als P( x y ) für das aus P( x y 1 ) und P( x y 2 ) stets y 1 = y 2 folgt) gibt es eine Menge deren genau die Bilder der Menge m unter der Abbildung P sind. (Dies ein Axiomenschema. Es erlaubt auch die Bildung Teilmengen durch das Aussonderungsaxiom.)
  • Potenzmengenaxiom: Jede Menge hat eine Potenzmenge d.h. für jede Menge x gibt es eine Menge y deren Elemente genau die Teilmengen von x sind.
  • Fundierungsaxiom: Jede nichtleere Menge x enthält ein Element y so dass x und y disjunkte Mengen sind.
  • Auswahlaxiom : Jedes kartesische Produkt nichtleerer Mengen ist nichtleer.



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