Lemma von Zorn

Jede halbgeordnete Menge in der jede Kette (d.h. total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat mindestens ein maximales Element.

Es ist benannt nach dem Mathematiker Zorn der es 1935 entdeckte. (Unabhängig von Entdeckung durch Kuratowski 1922.)

Die verwendeten Begriffe sind die folgenden: ( P <=) eine halbgeordnete Menge. Eine Teilmenge T heißt Kette oder total geordnet wenn für alle s t in T gilt s <= t oder t <= s . Eine solche Teilmenge T hat eine obere Schranke u in P falls t <= u für alle t in T . Beachte dass u nicht in T liegen muss. Ein maximales Element von P ist ein Element m für welches es kein größeres Element P gibt: Aus m <= x mit x in P folgt dass m = x ist.

Verwendung

Wie auch der Wohlordnungssatz ist Zorns Lemma äquivalent zum Auswahlaxiom d.h. man kann mit einem dieser Sätze zusammen mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre die beiden anderen beweisen. Zorns Lemma in vielen wichtigen Beweisen benutzt zum Beispiel

1. den Satz dass jeder Vektorraum eine Basis hat
2. das Hahn-Banach-Theorem in der Funktionalanalysis nach dem man lineare Funktionale fortsetzen
3. Tychonoffs Theorem dass jedes Produkt kompakter Räume selbst kompakt ist
4. den Satz dass jeder Ring mit 1 ein maximales Ideal hat
5. den Satz dass jeder Körper einen algebraischen Abschluss hat.

Ein Beispiel der Anwendung

Wir beweisen als typische Anwendung des von Zorn dass jeder Ring mit 1 maximales Ideal hat. Die Menge P besteht hier aus allen (beidseitigen) Idealen in R mit Ausnahme von R selbst. Diese Menge ist bezüglich der halbgeordnet. Wenn wir ein maximales Element dieser finden können dann sind wir fertig denn ist ein Ideal ungleich R für das es kein größeres Ideal R gibt also ein maximales Ideal.

Um Zorns Lemma anwenden zu können wir eine totalgeordnete Teilmenge T von P und müssen zeigen dass sie eine Schranke hat also ein Ideal I in R existiert das alle Ideale in T enthält aber ungleich R ist (sonst wäre es nicht in P ). Wir wählen I als die Vereinigung aller Elemente von T . I ist ein Ideal denn sind a und b Elemente von I dann gibt es Ideale J K in T so dass a in J und b in K liegt. Da T totalgeordnet ist liegt eins der beiden im anderen wir können ohne Einschränkung annehmen J in K enthalten ist. Dann sind a und b beide in K also liegen a + b und für jedes r in R auch ra und ar in K und damit in I . Somit ist also I tatsächlich ein Ideal von R .

Warum liegt nun I in P also warum ist I ungleich R ? Dazu müssen wir wissen dass ein gleich R ist genau dann wenn es die enthält. ( R enthält die 1 und umgekehrt liegt der 1 auch jedes Element der Form r 1 im Ideal also ganz R .) Wäre nun also I gleich R dann müsste es ein Ideal in T geben das die 1 enthält und wäre gleich R aber R wurde explizit aus P ausgeschlossen.

Da die Voraussetzungen für Zorns Lemma sind erhalten wir die Existenz eines maximalen in P und das ist ein maximales Ideal R .

Dieser Beweis benötigt die Voraussetzung dass Ring eine 1 hat. Ohne das wäre nicht durchführbar und tatsächlich wäre die Behauptung

Beweis von Zorns Lemma mit dem

Zuletzt geben wir noch eine Beweisskizze Lemmas von Zorn. Angenommen das Lemma wäre Dann gäbe es eine halbgeordnete Menge P in der jede totalgeordnete Teilmenge eine Schranke hätte aber trotzdem jedes Element ein hätte (es gäbe kein maximales Element in P ). Für jede totalgeordnete Teilmenge T definieren wir nun ein Element b ( T ) das größer ist als jedes Element T indem wir eine obere Schranke von T nehmen und b ( T ) auf ein Element setzen das noch ist als diese Schranke. Um b hierdurch als Funktion definieren zu können wir das Auswahlaxiom (denn wir sagen nicht welche obere Schranke und welches größere Element wir nehmen).

Mit dieser Funktion b bestimmen wir dann Elemente a ₀ < a ₁ < a ₂ < a ₃ < ... in P . Diese Folge wird wirklich lang: Die sind nicht nur alle natürlichen Zahlen sondern alle Ordinalzahlen ! Diese Folge ist zu lang für Menge P denn es gibt mehr Ordinalzahlen als in irgendeiner Menge enthalten sein können und erhalten wir einen Widerspruch.

Die a _v definieren wir durch transfinite Induktion : Wir wählen a ₀ beliebig aus P (das geht da P eine obere Schranke der leeren Menge also selbst nicht leer ist) und für andere Ordinalzahl w setzen wir

a _w := b ({ a _v | v < w }).

Der Beweis zeigt sogar eine etwas Version von Zorns Lemma (weniger Voraussetzung und Folgerung):

Ist P eine halbgeordnete Menge in der jede wohlgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat und x in P dann hat P ein maximales Element das größer-gleich x ist also mit x vergleichbar.

(Jede wohlgeordnete Menge ist totalgeordnet und Vergleichbarkeit mit einem beliebigen Element kommt als hinzu.)

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