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(Ana I) e^r und Bernoulli
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> (Ana I) e^r und Bernoulli
 
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Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 14:44:52    Titel: (Ana I) e^r und Bernoulli

Hallo!

Ich soll zeigen, dass lim(n->oo) (1+r/n)^n = e^r
Dazu haben wir eine Anleitung. Der erste Schritt war das für r€Q+ zu zeigen, was auch gut geklappt hat (mit Teilfolge).
Aber: Nun heißt es:
"Zeigen sie mit Hilde der Bernoullischen Ungleichung:
lim(n->oo) {(1+r/n)^n * (1-r/n)^n} = 1
und folgern sie daraus den Fall r€Q-"

Ich schätze mal man soll immernoch von r€Q+ ausgehen (und erst nachher den Fall r€Q- folgern), daher weiß ich also das (1+r/n)^n -> e^r.
aber bei (1-r/n)^n finde ich einfach keinen Ansatz. Ich weiß das da 1/e rauskommen muss als Grenzwert, aber wie soll ich die Bernoulli anwenden?
Bei Bernoulli muss doch bei (1+x)^n >= 1+nx das x>= -1 sein und das ist es hier definitiv nicht, wenn ich (-r/n) als x betrachte...
Habt ihr einen Tipp für mich?

Vielen Dank!
mfG
Turis
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 14:48:59    Titel:

Hallo!

Du sollst das zusammenhängende Produkt betrachten, und erst einmal dessen Grenzwert berechnen. Dann kannst du mit den Grenzwertsätzen, da du den Grenzwert des ersten Faktors kennst, auch den des zweiten ausrechnen.. Smile


Viele Grüße, Cyrix
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 15:07:56    Titel:

Hallo cyrix42!

Wie soll ich das denn in etwa angehen? Meinst du mit der Epsilon-Geschichte oder irgendwie versuchen das Sandwich-Lemma (oder auch bekannt als Quetschlemma) zu benutzen? Grübel da schon länger drüber nach, aber nirgends lässt sich vernünftig der Bernoulli drauf anwenden Sad

Danke und viele Grüße,
Turis

P.S: Also es geht nicht um den Fall r€Q- darauf zu folgern, sondern das Problem ist es erstmal zu zeigen dass der Grenzwert des Produkts 1 ist.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 15:10:35    Titel:

Na offensichtlich ist (1+r/n)^n * (1-r/n)^n = (1-(r/n)^2)^n < 1.

Nun ist aber (1-(r/n)^2)^n > ... (Bernoulli-Ungleichung), also lim n->oo von dem Spaß gleich 1... Wink


Viele Grüße, Cyrix
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 15:24:40    Titel:

oha! da komme gleich 2 fragen auf:
woher weißt du das (1-(r/n)²)^n < 1
und wieso darf man auf (1-(r/n)²)^n die bernoulli-Ungleichung anwenden obwohl doch -(r/n) sicher nicht >= -1 ist, wenn r€Q+ oder liegt das an dem quadrat das man das doch darf?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 15:27:34    Titel:

Turis hat folgendes geschrieben:
oha! da komme gleich 2 fragen auf:
woher weißt du das (1-(r/n)²)^n < 1


Weil eine Zahl, welche kleiner als 1 ist, auf jeden Fall nicht größer wird, wenn ich sie noch in eine Potenz mit Exponenten >0 erhebe... Wink


Zitat:

und wieso darf man auf (1-(r/n)²)^n die bernoulli-Ungleichung anwenden obwohl doch -(r/n) sicher nicht >= -1 ist, wenn r€Q+ oder liegt das an dem quadrat das man das doch darf?


?

Also für n genügend groß (und uns interessiert ja nur der Grenzwert für n->oo, also können wir n genügend groß annehmen) ist |r/n| < 1, und damit auch |(r/n)^2| ...


Vioele Grüße, Cyrix
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 15:29:39    Titel:

achsooo, man darf schon annehmen das n ganz schön groß ist? ich dachte immer man muss das für alle n betrachten und darf erst hinterher das n groß werden lassen. okeee. dankö!!
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 15:31:41    Titel:

Nun, der Grenzwertbegriff lässt doch gerade zu, dass etwas nur für fast alle n gelten muss (also alle, bis auf endlich viele Anfangsglieder)...


Viele Grüße, Cyrix
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