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Stetigkeit
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Hämmerchen
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Anmeldungsdatum: 26.09.2006
Beiträge: 74

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 16:16:25    Titel: Stetigkeit

Hallo. Folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten:

Sei [x]=max{z Element Z, z<=x} für x Element R und
f: R --> R, x --> [x]. Zu zeigen: f ist stetig in x falls x nicht Element Z und unstetig in x, falls x Element Z.

Anschaulich ist das ja klar, aber wie könnte man das beweisen.

Viele Grüße
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 17:40:31    Titel:

Hallo !

Schreibe das Stetigkeitskriterium auf (am besten hier herein) und wende es auf die Funktion g(x):=x-[x] an.
Hämmerchen
Junior Member
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Anmeldungsdatum: 26.09.2006
Beiträge: 74

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 18:47:33    Titel:

Das lautete bei uns: xn Element D mit xn-->x, und f(xn)-->f(x), dann ist f stetig in x.
Wie wende ich das dann an?
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 19:08:16    Titel:

xn Element D mit xn-->x, und g(xn)-->g(x), dann ist g stetig in x.

xn-->m (m sei ganze Zahl) :
g(xn)=xn-[xn]<x(n+1)-[x(n+1)]=g(x(n+1)) für ALLE n
mit xn<x(n+1) und zugleich [xn]=[x(n+1)].
Da folglich g(xn-->m)-->1, aber g(m)=0 ist, ist g(x) nicht stetig.
Und somit: Da x stetig ist, bleibt, dass [x] nicht stetig ist.

So kannst Du natürlich auch direkt für [x] argumentieren, es geht ja nur um die jeweilige Sprungstelle bei den ganzen Zahlen.
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