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Ganzrationale Funktion / Lineares Gleichungssystem
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Ganzrationale Funktion / Lineares Gleichungssystem
 
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schultz.patrick
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Anmeldungsdatum: 03.12.2006
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 18:25:16    Titel: Ganzrationale Funktion / Lineares Gleichungssystem

Guten Tag zusammen,

ich habe meine Probleme mit folgender Aufgabenstellung:

Von einer ganzrat. Fkt n-ten Gerades sind ein Koeffizient und alle Nullstellen gegeben. Ermitteln sie die Funktionsgleichung.


n=4 a1=4 x01=-2 x02=-1 x03=1 x04=4

Nun wollte ich diese Aufgabe anhand des Gleichungssystem lösen:

f(x) = a4x^4 + a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0


f(-2) = 16a4 - 8a3 +4a2 - 8 + a0 = 0
f(-1) = 1a4 - 1a3 + 1a2 - 4 +a0 = 0
f(1) = 1a4 + 1a3 + 1a2 + 4 +a0 = 0
f(3) = 81a4 + 27a3 + 9a2 +12 +a0 = 0


Leider ist es mir bisher nicht gelungen diese Aufgabe über das Lineare Gleichungssystem zulösen.
Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.



Liebe Grüsse Patrick...
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 18:32:37    Titel:

ich wuerde mit dem Gauss-Verfahren ansetzen.

Gruss:


Matthias
schultz.patrick
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Anmeldungsdatum: 03.12.2006
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 18:35:48    Titel:

Gauss Verfahren, noch nie gehört, vielleicht hilfst Du mir auf die Sprünge.
schultz.patrick
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Anmeldungsdatum: 03.12.2006
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 19:00:09    Titel:

niemand eine idee?
Matthias20
Moderator
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 19:03:30    Titel:

schaue es dir mal an:

=> http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren

Um Fehler zu vermeiden, solltest du andere Variablen einsetzen:

a4 = a ; a3 = b ; a2 = c ; a0 = d

=> allg.: f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + d

Gruss:


Matthias


Zuletzt bearbeitet von Matthias20 am 03 Dez 2006 - 20:44:45, insgesamt einmal bearbeitet
schultz.patrick
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Anmeldungsdatum: 03.12.2006
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 20:13:30    Titel:

Bekomme hinaus für a2=a3=a4=-4

kann mir das mal jemand vorrechnen?
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 20:43:28    Titel:

a2 = b = -4 ist richtig.

Des Weiteren gilt (zur Kontrolle):

a = 4
b = -4
c = -28
e = 24

Poste doch mal deinen Rechnenweg.

Gruss:


Matthias
schultz.patrick
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Anmeldungsdatum: 03.12.2006
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 21:04:37    Titel:

Zunächst einmal danke für Deine Mühen:

Hier mein Rechenweg.

f(-2) = 16a4 - 8a3 +4a2 - 8 + a0 = 0 |+8
f(-1) = 1a4 - 1a3 + 1a2 - 4 +a0 = 0 | +4
f(1) = 1a4 + 1a3 + 1a2 + 4 +a0 = 0 | -4
f(3) = 81a4 + 27a3 + 9a2 +12 +a0 = 0 |-12

ist gleich:

I 16a4 - 8a3 +4a2 + a0 = 8
II 1a4 - 1a3 + 1a2 +a0 = 4
III 1a4 + 1a3 + 1a2 +a0 = -4
IV 81a4 + 27a3 + 9a2 +a0 = -12


I-II = 15a4 - 7a3 +3a2 = 4

I-III = 15a4 - 9a3 + 3a2 = 12

I-IV = -65a4 -35a3 - 5a2 = 20


15a4 - 7a3 +3a2 = 4
-(15a4 - 9a3 + 3a2 = 12)
---------------------------------
2a3 = -8 | /2

a3 = -4



15a4 - 9a3 + 3a2 = 12 |*5
-65a4 -35a3 - 5a2 = 20 |*3

75a4 - 45a3 + 15a2 = 60
+(-195a4 - 105a3 - 15a2 = 60)
----------------------------------------
120a4 - 150a3 = 120

120a4 - 150 * (-4) = 120

120a4 + 600 = 120 | -600

120a4 = -480 | /120

a4 = -4
schultz.patrick
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Anmeldungsdatum: 03.12.2006
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 21:10:13    Titel:

a1 = 4
a2 = ?
a3 = -4
a4 = - 4



I-II = 15a4 - 7a3 +3a2 = 4


15 * (-4) - 7 * (-4) + 3a2 = 4

-60 + 28 + 3a2 = 4

-32 + 3a2 = 4 | +32

3a2 = 36 | / 3

a2 = 12

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Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2006 - 22:44:18    Titel:

schultz.patrick hat folgendes geschrieben:

15a4 - 9a3 + 3a2 = 12 |*5
-65a4 -35a3 - 5a2 = 20 |*3

75a4 - 45a3 + 15a2 = 60
+(-195a4 - 105a3 - 15a2 = 60)
----------------------------------------
- 120a4 - 150a3 = 120


es muss -120 a4 lauten. Dann passt es:

-120a4 +600 = 120

480 = 120a4 | :120

4 = a4

Kannst dir jetzt ja nochmal a2 und a0 anschauen.

Gruss:


Matthias
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