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njura0811
Full Member
Anmeldungsdatum: 16.10.2005
Beiträge: 179
Wohnort: Frankfurt am Main
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 Verfasst am: 04 Dez 2006 - 10:21:17 Titel: Bewwiesen von Teilbarkeit mit Induktion |
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HAllo ich weiß in der folgendenden Aufgabe nicht genau wie ich vorgehen soll?
9 teilt die Summe der dritten Potenzen von 3 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen
Anfang: 1³+2³+3³ = 36 36 : 9=4
Hmm dann behaupte ich mal: n³+ (n+1)³ + (n+2)³ ist durch 9 TEilbar dann ist auch
(n+1)³+ (n+2)³ + (n+3)³ ist duch 9
Ist das richtig so und wenn ja was muss ich jetzt weiter machen??? |
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Jockelx
Senior Member
Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3255
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| Verfasst am: 04 Dez 2006 - 10:57:01 Titel: |
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Hallo,
das n³+ (n+1)³ + (n+2)³ ist deine IV.
Den IS fängst du jeztz so an:
(n+1)³+ (n+2)³ + (n+3)³ = ... (umformen, bis sich die IV direkt einsetzten
lässt, diese ist durch 9 teilbar) => Bleibt z.z. das der Rest durch 9 teilbar ist,
was leicht zu sehen ist.
Jockel |
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Winni
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612
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| Verfasst am: 04 Dez 2006 - 10:57:11 Titel: |
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Hallo !
Du brauchst nun einen Zusammenhang zwischen n³+ (n+1)³ + (n+2)³ und (n+1)³+ (n+2)³ + (n+3)³ .
Nimm einfach mal die Differenz : d(n) = ((n+1)³+ (n+2)³ + (n+3)³)-(n³+ (n+1)³ + (n+2)³)
Da 9 | (n³+ (n+1)³ + (n+2)³) vorausgesetzt ist, genügt es zu zeigen, dass 9 | d(n) ,
dann ist auch (n+1)³+ (n+2)³ + (n+3)³ = d(n) + n³+ (n+1)³ + (n+2)³ durch 9 teilbar.
Teste nun (mittels Ausmultiplizieren)
d(n) = (n+3)³-n³ = ...
auf die Teilbarkeit mit 9. |
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Dolds Binomifreaks
Newbie
Anmeldungsdatum: 09.10.2009
Beiträge: 2
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| Verfasst am: 09 Okt 2009 - 15:27:28 Titel: |
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Zuletzt bearbeitet von Dolds Binomifreaks am 09 Okt 2009 - 15:39:17, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Dolds Binomifreaks
Newbie
Anmeldungsdatum: 09.10.2009
Beiträge: 2
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| Verfasst am: 09 Okt 2009 - 15:35:27 Titel: 9 teilt die Summe der dritten potenzen von 3 aufeinander fol |
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An alle Nichtmathechecker, Abschreiber und besonderes Kevin Gaess,
Aufgabe 2)
9 teilt die Summe der dritten potenzen von 3 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen.
IA: 9/ n^3+(n+1)^3+(n+2)^3
n=1245+90^87+Doldschke Klammer- Heavyside
9/ (1245+90^87+Doldschke Klammer-Heavyside)^3+(1245+90^87+Doldschke Klammer-Heavyside+1)^3+(1245+90^87+Doldschke Klammer-Heavyside+2) -->RICHTIG
IS: 9/ k^3+(k+1)^3+(k+2)^3
Ann: 9/(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3
Beweis: \cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \frac{1}{2} \left( e^y + e^{-y} \right) = \cosh(y)
Hier kann man sehr leicht erkennen, dass es durch 9 teilbar ist (rechte seite binomi linke seite ausklammer, poly un dann Diriclet)
Bis dienstag euer mathefreak    |
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