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majorantenkriterium und grenzwert
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ija0
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Newbie


Anmeldungsdatum: 15.11.2006
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2006 - 17:59:16    Titel: majorantenkriterium und grenzwert

hallo!
ich hab durch das majorantenkriterium gefunden, dass die reihe sum(1/n²) (majorante sum(1/(n(n-1))) konvergiert. aber wenn ich jetzt den grenzwert ausrechnen will, wie mach ich das?
die lösung soll pi²/6, also ca. 1,6 sein...?!?!?
kann mir da jemand helfen?
Winni
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2006 - 21:02:36    Titel:

Hallo !

Eine elementare Begründung kann man in etwa wie folgt formulieren:

Wenn Du eine Funktion f(x) = 1+a(1)x+a(2)x²+... hast, die Nullstellen hat,
dann ist nach dem Satz von Vieta das a(1) die Summe der Kehrwerte aller Nullstellen.

Sei f(x) = sin(x)/x = 1 + (x²)/3! + (x²)²/5! +... .
Dann ist 1/(1*pi)² + 1/(2*pi)² + 1/(3*pi)³ + ... = 1/3! .
Hieraus folgt 1/1² + 1/2² + 1/3² + ... = pi²/6 .
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