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Taylorpolynom - Durchgedacht - >
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KeepOn
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Anmeldungsdatum: 22.10.2006
Beiträge: 55

BeitragVerfasst am: 05 Dez 2006 - 05:26:01    Titel: Taylorpolynom - Durchgedacht - >

Hallo,

folgendes hab ich mir zur Taylorentwicklung durchgedacht und folgende Fragen sind aufgetaucht - wäre nett wenn die wer beantworten könnte:

Also erstmal, man nimmt einen Punkt an der möglichst nahe am gesuchten Punkt liegt.
Das Taylorpolynom hat in dem Punkt den selben Funktionswert wie f, ebenso hat das Taylorpolynom in dem Punkt die selben Ableitungen n-ter Ordnung wie die Fkt. f.

Damit man also die Funktion f mit einer Potenzreihe beschreiben kann, leitet man in diesem angenommenen Punkt einfach öfters ab, und bildet die Taylorsumme.
Ab der n-ten Ableitung kann man davon ausgehen dass in der Umgebung des Punktes den man gewählt hat, das Taylorpolynom der Fkt. entspricht, und somit auch dem Funktionswert in dem gesuchten Punkt x entspricht.

Nun meine Frage - stimmt das erstmal alles ?

Wenn ja, heißt das, das wenn man den Punkt den man annnimmt also das x0, wenn man diesen zu weit weg von dem gesuchten Punkt x annimmt, muss man auch mehrFolgeglieder in der Taylorformel berechnen um einen brauchbaren Wert für den Funktionswert in x zu bekommen , oder ?

2. Frage:

Beim Taylorpolynom wird ja immer ein (x-x0) angehängt in der Formel. Wenn also dieser Ausdruck 0 würde, also das x0 dem x entspräche, würde dies heißen im Taylorpolynom fallen alle Glieder weg bis auf a0 oder ?, somit wäre f(x) = a0. ?

Und für die Steigung in dem Punkt würde dies heissen, die wäre oo, und das Restglied 0. ?

Vielen Dank !


mfg,
KeepOn
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Anmeldungsdatum: 22.10.2006
Beiträge: 55

BeitragVerfasst am: 05 Dez 2006 - 11:35:54    Titel:

Noch was ...

warum nimmt man nicht _immer_ den Entwicklungspunkt x0 = 0 ?

Vielen Dank !


mfg,
KeepOn
Kartoffel84
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Anmeldungsdatum: 17.11.2006
Beiträge: 38

BeitragVerfasst am: 05 Dez 2006 - 13:09:44    Titel:

zur Frage 1: bis dahin stimmt es Wink

das Taylorpolynom ist aber nur in einem bestimmten Intervall als Annäherung zu sehen, und zwar ein Intervall um Xo herum.
Wenn ich mich recht entsinne bekommst du die Intervall Grenzen durch die Grenzwertbildung der Summen...
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