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Mathe Aufgabe - Induktion
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Gast







BeitragVerfasst am: 24 Nov 2004 - 22:26:30    Titel: Mathe Aufgabe - Induktion

Hallo,

habe eine Aufgabe bei der ich nicht weiß wie ich überhaupt anfangen soll. Ich hoffe mir kann jemand helfen. Wäre super wenn mir jemand die komplette Lösung schon sagen könnte, es reicht aber auch schon der Ansatz wie ich anfangen sollte.

Also hier die Aufgabe:

Eine Pizza soll mit einem Pizzamesser mit geraden Schnitten in Stücke geteilt werden. Die Stücke müssen nicht gleich groß sein und können verschiedene Formen haben. Wieviele Stücke kann man mit n Schnitten maximal erhalten?

Hinweis:
Betrachten Sie zunächst die kleinen Fälle n=0,1,2,3 und evtl. noch 4 und versuchen Sie eine allgemeine Regel aufzustellen, die Sie dann mit Induktion beweisen.
Gast







BeitragVerfasst am: 28 Nov 2004 - 22:51:15    Titel:

keiner ne ahnung wie man das lösen könnte?
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2004 - 23:18:30    Titel:

Also bei kleinen Fällen stellt sich folgendes ein:
Schnitte=Veränderung - Stückzahl
1 - 2
2 - 4
3 - 7
4 - 11
5 - 16

Zunächst lässt sich die Pizza nur Teilen. Diese beiden Stücke lassen sich in einem Schnitt zerlegen (4). Wird der nächste Schnitt nich im Schnittpunkt der vorangegangen gemacht, dann können 3 der 4 Stücke geteilt werden (7). u.s.w.
Mit Induktion hat das nichts zu tun, weil man es nicht mathematisch beweisen kann.
Für n Schnitte ergibt sich:
1 + 1+ 2 + ... + n = 1 + (n+1)*n/2
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2004 - 23:31:56    Titel:

Ich habe mir die Aufgabe schon mal angeschaut und war zu faul. Die Aufgabe ist nicht so trivial, wie man denkt. Es hängt nämlich davon ab, wie man Schnitt definiert. Ich beweise die Aufgabe zuerst für den guten Fall und dann gebe ich ein Gegenbsp. für den Schlechten.

Ich nehme idealisiert mal an, die Pizza ist rund, also eine offene Kreisscheibe und ein Schnitt schniedet eine Gerade aus der Pizza raus. D.h. man bekommt zwei offene Teilstücke. Offene Scheibe ist konvex und die Teilstücke sind dann ebenfalls konvex, sich die Konvexität vererbt und der "Rand nicht ausgefranzt ist".

Bei 0 Schnitten: hast du die ganze Pizza. 1 Konvexes stück.
Bei 1 Schnitt: triffst du die Pizza oder triffst du sie nicht. Wenn du sie triffst, hast du zwei Teile. Wenn nicht nur eins. Also maximal 2 konvexe Stücke.
Bei 2 Schnitten: Da gehe ich gleich auf maximal ein. Du triffst also alle zwei mal die Pizza und der Schnittpunkt liegt in der Pizza. Dann hast Du maximal 4 konvexe Teile.
Bei 3 Schnitten: Wieder nur das max. Alle Schnitte treffen die Pizza und haben paarweise verschiedene Schnittpunkte in der Pizza. D.h. 7 konvexe Teile. also maximal 8.

Induktionsannahme: Mit n Schnitten bekommt man höchstens 2^n konvexe Teilstücke
Angenommen wir haben n+1 Schnitte gemacht. Betrachten wir den n+1 Schnitt. Die n Schnitte davor liefern nach I.A. höchstens 2^n konvexe Stücke. Jetzt kann aber der n+1 Schitt wegen der Konvexität jedes einzelnen Stückes höchstens 2 Teile liefern. Daher gibt es für jedes der 2^n stücke höchstens 2*2^n = 2^(n+1) Teile. Die Stücke sind nach obiger Bemerkung wieder konvex, was man leicht zeigen kann.

Also gilt die Aussage für alle n.

So und nun der Böse Fall. Wir verbrechen folgendes: Ein Schnitt schaut ja aus x_0 + l u, wobei x_0 der Stützvektor und u der Richtungsvektor ist. Jetzt ordnen wir einem Rand immer irrationale l's und dem anderen die rationalen l's. So und jetzt kommt der tötende Schnitt: Der zweite Schnitt geht über den ersten nur ordnet man nun jedem irrationalen l die entgegengesetzten Stücke. Jetzt hat man durch zwei Schnitte eine überabzählbare Menge von isolierten Punkten geschaffen. Pfui......
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