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Lineare Abbildung ==> injektiv <=> surjektiv
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nebenfachler
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Anmeldungsdatum: 19.11.2006
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BeitragVerfasst am: 10 Dez 2006 - 12:08:04    Titel: Lineare Abbildung ==> injektiv <=> surjektiv

Hallo liebes Forum, Weiss leider nicht, wie ich konkret weitermachen soll, und hoffe deshalb auf eure Hilfe.

Die Aufgabe: V sein ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und F:V-->V eine lineare Abbildung.
(a) Beweise: F ist injektiv <=> F ist surjektiv.
(b) Zeige durch ein Beispiel, dass diese Aussage für dim V = unendlich falsch ist.

Also versuch ich mal meine Gedanken bisher aufzuschreiben:

Zu a) Wenn die Zuordnung linear ist, dann ist es entweder injektiv, oder surjektiv.

Injektiv, wenn der Ker(f)={0}
surjektiv wenn dim V_2 = dim im(f)

Bin mir eigentlich sicher, das ich das ganze nur so mit den mitteln meiner Vorlesung lösen kann, nur fehlt mir irgendwie komplett der Ansatz da ich ja sogesehen nichts rechnen kann um den Kern bzw. das Bild zu bestimmen. Müsst ich 2 Beweise machen, einen für injektiv und einen für surjektiv? In meinem Kopf ist mir das relativ klar, dass das ganze so sein muss, ich bräuchte wahrscheinlich nur nen Ansatz um zu Beweisen.

Zu b) Unendliche Dimension...da fehlt mir leider vollständig das verständniss, wie ich etwas als Beispiel geben kann, das man nichtmal aufschreiben kann, wäre ich auch für nen tipp dankbar, ist bestimmt einfach, gibt auch nicht so viele Punkte.


Also ich hoffe irgendwer kann was mit anfangen.
Greetz John
nebenfachler
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Anmeldungsdatum: 19.11.2006
Beiträge: 755
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BeitragVerfasst am: 12 Dez 2006 - 13:23:44    Titel:

So hab jetzt was, lässt mir einfach keine ruhe:

Injektiv, wenn der Ker(f)={0}
surjektiv wenn dim V_2 = dim im(f)

"=>" f inj. <=> Ker (F) ={0} => dim (Ker f) = 0
Dimensionsformel: dim (Ker f) = Dim V1 - dim(Im F)
dim (Ker F) nach Vor. 0, also
0 = dim V1 - dim (Im F) also
dim V1 = dim (Im F)


Nur nun frag ich mich, müsste für surjektivität nicht V2 = dim (im F) ?

Hab ich was falsch gemacht, oder ist dim v1 = dim v2, wenn ja wieso? linearität? Bin grad verwirrt.
RAückrichtung wäre denn ja nichtmehr schwer, wenn die Hinrichtung richtig ist. Wäre super wenn jem. was zu sagen würde!


Falls jem. noch ne Idee zu B hat, wäre ic hauch dankbar nachwie vor keine Vorstellung
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