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DGL: Separation
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Therioum
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Anmeldungsdatum: 03.10.2006
Beiträge: 151

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2006 - 20:20:40    Titel: DGL: Separation

Wie löst man folgende Gleichung?

f(x) + x*f'(x) = 0; x>0; f(x)>0
Bluesea
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Anmeldungsdatum: 27.10.2006
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2006 - 20:29:05    Titel:

f(x) + x*f'(x) = 0 | /f(x)
1 + x*f'(x)/f(x) = 0 | -1
x*f'(x)/f(x) = -1 | /x
f'(x)/f(x) = -1/x
f(x) = -ln(x)
Therioum
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Anmeldungsdatum: 03.10.2006
Beiträge: 151

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2006 - 20:50:50    Titel:

Bluesea hat folgendes geschrieben:
f(x) + x*f'(x) = 0 | /f(x)
1 + x*f'(x)/f(x) = 0 | -1
x*f'(x)/f(x) = -1 | /x
f'(x)/f(x) = -1/x
f(x) = -ln(x)


danke, aber den letzten schritt von dir hab ich nicht verstanden.
Bluesea
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Anmeldungsdatum: 27.10.2006
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2006 - 21:13:45    Titel:

Oh, tut mir leid, das war falsch.

f'(x)/f(x) = -1/x |integrieren
ln(f(x)) = -ln(x) |e^
f(x) = e^-ln(x) = e^(ln(x))^-1 = (e^ln(x))^-1 = x^-1 = 1/x

Also f'(x)/f(x) integriert ist immer ln(f(x));
1/x ist ebenfalls f'(x)/f(x), nur dass f(x)=x und f'(x)=1;
Ein Faktor vor ln(...) also a*ln(...) kann man auch so schreiben: ln(...)^a, hier ist a=-1;
x^y^z kann man schreiben als (x^y)^z, hier ist x=e, y=ln(x) und z=-1;
e^ln(x) = x (e und ln heben sich gegenseitig auf!);
und x^-1 kann man auch so schreiben: 1/x;
Therioum
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Anmeldungsdatum: 03.10.2006
Beiträge: 151

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2006 - 16:30:51    Titel:

Wie löst man folgende 2 Aufgaben:

f(x)e^x + f'(x)e^x = -e^(-x)


ln f'(x) = x
Bluesea
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Anmeldungsdatum: 27.10.2006
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2006 - 16:56:45    Titel:

f(x)e^x + f'(x)e^x = -e^(-x)
Bei dieser Formel kannst du die Produktregel anwenden:
ableiten(u*v)=u'*v+u*v' |integrieren(...)
u*v=integrieren(u'*v+u*v')
In diesem Fall ist u=f(x), u'=f'(x), v=v'=e^x
Du musst auch noch auf der rechten Seite integrieren, aber ich will dir ja nicht die ganze Arbeit klauen Wink

ln f'(x) = x ist keine DGL, weil kein f(x) vorkommt.
Du könntest aber die Stammfunktion berechnen. Dabei musst du nur wissen, dass du mit e^ das ln() aufhebst. Der Rest ist mehr als einfach.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2006 - 17:01:15    Titel:

die erste:
f(x)e^x + f'(x)e^x = -e^(-x) oder f(x)+ f'(x) = -e^(-2x)

ist eine einfache lineare DGL erster Ordnung; inhomogen...
die Lösungswege kannst du echt überall nachschlagen..

die zweite ist trivial:
ln f'(x) = x Arrow f'(x) = e^x ... wie da wohl die Lösungen aussehen?

Zur vorherigen Aufgabe:
Nebenbei: es soll da so komische Integrationskonstanten geben, die am Schluss noch irgendwo rumstehen Wink
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