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Primzahlen aufgabe
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subsiro5
Gast






BeitragVerfasst am: 25 Nov 2004 - 15:29:11    Titel: Primzahlen aufgabe

Könnte mir einer bei dieser Aufgabbe helfen?


Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis:
1.Angenommen die Behauptung ist falsch, dann muss gelten:
_____________________________________dies seien: p1,p2,p3,p4,.....pn
2. Man bilde das Produkt aus allen Primzahlen:_________________________
Zähle zu diesem Produkt eins dazu: _________________________________
Welche Aussage lässt sich über den kleinsten echten Teiler dieser „neuen“ Zahl sagen?
_____________________________________________________________
3. Also _________________________________
xaggi
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2004 - 15:36:53    Titel:

1. es gebe n Primzahlen

2. p1 * p2 * ... * pn

p1 * p2 * ... * pn + 1

kleinster echter teiler ist p1 * p2 * ... * pn + 1 selbst, denn andere Teiler müssten sich als Produkt aus p_i (0<i<n+1) schreiben lassen, aber p1 *... ist größer als alle solchen produkte.

3. Also ist p1*... Prim


Vorher muss man allerdings bewiesen haben, dass jede Zahl sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen lässt.
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 25 Nov 2004 - 15:55:41    Titel:

> 3. Also ist p1*... Prim

Nein, diese Schussfolgerung ist nicht richtig, sonst hätte man
eine rekursive Folge, mit der man alle Primzahlen erwischt.

Richtig ist die Folgerung:

p1*...pn + 1 lässt sich nicht durch p1, p2,..oder pn teilen,
daher muss wegen der Zerlegung in Primfaktoren gelten:

Es gibt noch (mindestens) eine weitere Primzahl, also
ist die Annhamen p1..pn seien alle Primzahlen falsch.

Jockel
xaggi
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2004 - 17:25:57    Titel:

Okay, stimmt. Ich bin davon ausgegenagen, dass die p_i die n kleinsten Primzahlen sind. Das würde dann auch funktionieren. Da das aber nirgends steht, kann man natürlich nicht davon ausgehen.
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 25 Nov 2004 - 17:52:11    Titel:

Wie gesagt, das geht nicht, auch nicht wenn es die Kleinsten sind:

2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59*509

Jockel
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