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1/(10^k+1)
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water_wave
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Anmeldungsdatum: 17.10.2006
Beiträge: 12
Wohnort: Deutschland

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2006 - 20:29:10    Titel: 1/(10^k+1)

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen:
kE N
Zeige, dass 1/(10^k+1) eine Dezimalbruchentwicklung mit Periode 2k besitzt.

Dazu kann ich verwenden:

1.)ggT(10^k+1, 10) =1
2.) l Element N mit 10^k+1/10^l-1

zu zeigen ist dann, dass l=2k

wie kann ich nun (10^l-1):(10^k+1) rechnen?
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2006 - 21:31:13    Titel:

Hallo !

Jeder periodische Teil einer rationalen Zahl läßt sich mit a € IN
als a/9...9 schreiben, wobei x...x als k-mal x hinter einander
geschrieben definiert sei. k ist die Periodenlänge.

0...09...9 * (10^k+1)
=
9...90...0
+
0...09...9
----------
9...99...9

da 9...9 als k-mal 9 hinter einander geschrieben definiert ist,
und somit ist die Periodelänge von 1/(10^k+1) eine Verdopplung von k.
1/(10^k+1) = 9...9/9...99...9

Multipliziert man 1/(10^k+1) mit einer zu 10^k+1 teilerfremden Zahl,
so ändert sich nichts an der Periodenlänge.
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