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Katimh
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Anmeldungsdatum: 19.10.2004
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 26 Nov 2004 - 21:41:14    Titel: Beweise

Hallo!

Könnte hier mal wieder etwas Hilfe gebrauchen. Zumindest Ansätze wären gut mit denen ich dann selbst mal was probieren kann.

Aufgabe 1: Bestimme alle natürlichen Zahlen n>/=1, k>/=1, die die Gleichung n! = n*k erfüllen.

Aufgabe 2: Sei n>/=3 eine natürliche Zahl. Beweise, daß zwischen n und n! stets eine rimzahl liegt.

Aufgabe 3: Seien a>/=b>/=1 teilerfremde Zahlen. Beweise, daß die Annahme, daß a*2-b*2 eine Quadratzahl ist, impliziert, daß a+b und a-b beide Quadratzahlen oder das Doppelte von Quadratzahlen sind.

Schon mal danke Smile
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2004 - 00:57:38    Titel:

zu 1
n! = n * [(n-1)*(n-2)*...*1]
=> gilt für alle n und die k lassen sich entsprechend berechnen
Katimh
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Anmeldungsdatum: 19.10.2004
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2004 - 10:29:24    Titel:

Hab gerade gesehen, daß ich Blödsinn gemacht habe.... Das Sternchen hab ich als Kennung für "hoch" benutzt. War natürlich falsch.

Dementsprechend muß Aufgabe 1 so heißen:

Aufgabe 1: Bestimme alle natürlichen Zahlen n>/=1, k>/=1, die die Gleichung n! = n^k erfüllen.

und

Aufgabe 3: Seien a>/=b>/=1 teilerfremde Zahlen. Beweise, daß die Annahme, daß a^2-b^2 eine Quadratzahl ist, impliziert, daß a+b und a-b beide Quadratzahlen oder das Doppelte von Quadratzahlen sind.
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2004 - 23:34:40    Titel:

Also für folgende Paare scheint es zu gelten:
n - k
1 - 0
1 - 1
1 - u-s-w
2 - 1

danach gilt es für ungerade n nie, weil n^k ungerade ist und n! gerade

bleibt die Frage, ob es für gerade n eine Lösung geben könnte
wenn n! = n^k, dann müsste die Primfaktorzerlegung identisch sein, d.h.
da n! = n * (n-1) * ... * 1 den Faktor (n-1) besitzt, müsste n^k auch den Faktor (n-1) besitzen, dies gilt aber nicht.

Damit sind obige Lösungen die einzigen.
Katimh
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Anmeldungsdatum: 19.10.2004
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2004 - 13:02:27    Titel:

danke das hilft mir doch schon mal weiter Smile

Aber zwei Fragen habe ich noch:

1. Was meinst du bei dem einen Zahlenpaar mit u-s-w?

2. Einmal schreibst du, daß es für ungerade n nie gilt. Dann fragst du, ob es für gerade n eine Lösung geben könnte schließt aber, duch die Überlegung mit der Primfaktorzerlegung, daß das aber nicht gilt.

Ist das nicht ein Widerspruch oder hab ich einfach was falsch verstanden?
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2004 - 13:36:38    Titel:

usw. soll heißen, dass für n gleich 1 alle natürlichen Zahlen für k eingesetzt werden können.

Die Überlegung mit den ungeraden Zahlen ist richtig, aber überflüssig, wenn man die Überlegung mit der Primfaktorzerlegung zugrunde legt.

Einen Widerspruch sehe ich nicht, ich sage, dass es für alle n größer als 2 nicht gilt. Für 2 gilt es , weil 2! = 2 * 1 = 2, die 1 also nicht ins Gewicht fällt.
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