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Wurzeln komplexer Zahlen
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DirkF
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Anmeldungsdatum: 13.09.2004
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2004 - 19:05:24    Titel: Wurzeln komplexer Zahlen

Hallo,

ich stör mich an der Definition für die n-te Wurzel einer komplexen Zahl. Denn sowohl laut der Definition in unserem schlauen Buch als auch in denen, die online fand, "heißt eine komplexe Zahl 'z' n-te Wurzel aus a, wenn sie der algebraischen Gleichung z^n=a genügt (a element von C, n Element von N)".

Nun ist es aber so, daß die reellen Zahlen Teilmenge der komplexen Zahlen sind. Und im reellen Bereich ist definiert, daß die n-te Wurzel aus a, a Element der positiven reellen Zahlen ohne Null und n Element der natürlichen Zahlen ohne Null, die eindeutig bestimmt POSITIVE Zahl ist, deren n-te Potent gleich a ist. Das heißt: Quadratwurzel aus 16 ist 4 und NICHT -4!. Da aber die Rechengesetze für die komplexen Zahlen auch denen der reellen Zahlen genügen sollen, beißen sich die beiden Definitionen. Denn nach der Definition für die n-te Wurzel einer komplexen Zahl wäre auch -4 eine Lösung, da (-4)² = 16. Würde man umgekehrt die Definition für die reellen Zahlen auf den komplexen Bereich übertragen, so hieße dies, daß der Realteil einer n-ten Wurzel aus a immer größer/gleich Null wäre.

Wo liegt denn hier nun mein Denkfehler?

Gruß, Dirk
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 21:22:29    Titel:

Ich glaube, eine komplexe Wurzel ist einfach nur was anderes als eine reelle Wurzel, so hab ich das jedenfalls in Erinnerung. Insofern ist da kein Widerspruch, weil es einfach verschieden definiert ist. (bei den komplexen Zahlen gibt es sowas wie "positiv" ja nicht, also kann man es nicht genauso definieren)
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 22:01:24    Titel:

So habe ich es mir auch gedacht. Die Menge der reellen Zahlen ist nicht eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Genauso nicht, wie Z Teilmenge von Q eigentlich. Es gibt eine Einbettung (also injektiven strikten Homomorphismus) von R nach C. Die Bilder assoziiert man dann mit den entsprechenden reellen Zahlen. Wenn es mit Q und Z noch durch Tricks einfach ist zu rechnen, ist es mit C und R nicht so.
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