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Vektorräume und Unterräume
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RastaMan
Gast






BeitragVerfasst am: 28 Nov 2004 - 07:53:53    Titel: Vektorräume und Unterräume

Habe Probleme mit dieser Aufgabe, ich hoffe es kann jemand helfen.

Seien V,W Vektorräume und f : V -> W eine lineare Abbildung. Zeige:
a) Kern(f) ist ein Unterraum von V:
b) f injektiv <-> Kern(f) = {0}
c) Ist f bijektiv, so ist auch f-1 (hoch -1) eine lineare Abbildung.

Ich bin für jede Hilfe dankbar.
RastaMan
Gast






BeitragVerfasst am: 30 Nov 2004 - 16:25:30    Titel:

Kann mir hier wirklich keiner helfen?
Gast







BeitragVerfasst am: 30 Nov 2004 - 19:03:23    Titel:

a) Prüfe einfach die Axiome für Untervektorräume nach und stelle fest, dass Ker(f) sie erfüllt.
b) "=>": Sei f injektiv. Klar ist, dass 0 in Ker (f) enthalten ist. Sei also
x ungleich 0 aus Ker(f).
Gelte f(0) = f(x). Da f injektiv ist, folgt 0 = x => Widerspruch!!
Also ist Ker(f) = {0}.
"<=": Sei Ker(f) = {0}. Seien x,y aus V. Gelte f(x) = f(y).
Damit ist f(x) - f(y) = 0, damit (da f linear ist) gilt:
f (x-y) = 0. Damit liegt x-y im Ker(f), also gilt x-y = 0 oder x = y.
Damit ist f injektiv.
c ) Sei f' die Umkehrabbildung von f, also f' : W -> V.
Seien u,v aus W und x,y aus V mit f(x) = u und f(y) = v.
Dann gilt:

f'(u+v) = f'(f(x) + f(y)) = (da f linear) f'(f(x+y) = x+y = f'(u) + f'(v).

Analog für Multiplikation mit Skalaren.
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