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Bogenlänge eines Kreises
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Drache222
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Anmeldungsdatum: 14.09.2006
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2006 - 20:39:02    Titel: Bogenlänge eines Kreises

Hallo,
ich halte ein Referat über die Bogenlängen von Funtionsgraphen.
Da es hier nur wenige schöne Rechenbeispiele gibt, wollte ich die Umfangformel 2*pi*r eines Kreises herleiten.
Geht man von der Formel f(x)= (r^2-x^2)^0,5 für einen Kreis aus,
so gelangt man durch die Bogenlängenformel (2* Integral von (1+f´(x)^2)^0,5 dx von -r bis +r zu meinem Resultat:
2r *Integral von 1/(r^2-x^2)^0,5 dx.
Ich weiß nun nicht, wie ich das Integral berechnen kann. Das Problem ist, dass man dafür glaube ich Integration durch Substitution braucht, was wir aber noch nicht gemacht haben. Die Fassregel funktioniert nicht, da man r, bzw. -r nicht einsetzen darf, weil man sonst durch 0 teilen würde.
Gibt es eine Möglichkeit, elegant um dieses Problem herumzukommen?
Gruß,
Drache222
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2006 - 22:22:42    Titel:

Int[ 1/(r^2-x^2)^0,5]* dx
ist fast sowas wie ein Grundintegral....

du findest die Stammfunktionen: arcsin(x/r) + C ...in jeder Formelsammlung

und dein Glaube trügt dich nicht, du könntest dem Ding beikommen durch die
Substitution x=r*sin(u)
Drache222
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Anmeldungsdatum: 14.09.2006
Beiträge: 29

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2006 - 23:11:06    Titel:

Hast du mir eine gute Seite, wo man die Integration durch Substitution erklärt bekommt?
Ich habe nämlich zum Beispiel wenig Ahnung, was u ist, und selbst, wenn du es mir sagen würdest, würde ich immer noch nicht wissen, wie man das macht.
Ich wäre dankbar um einen Tipp,
Gruß
Drache222
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2006 - 23:42:19    Titel:

vielleicht kannst du damit etwas anfangen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution

beispiel 3 ist ähnlich, allerdings auch etwas komplizierter,
denn bei deinem Integrand 1/(r²-x²)^0,5
und der Substitution x= r*sin(t) wird dann das
sich ergebende Integral viel einfacher:... Int(1*dt) = t
und wegen t= arcsin(x/r) also dann Int[1/(r²-x²)^0,5]*dx = arcsin(x/r) ....

PS hier ist für r²=4 dein Beispiel :

http://www.ucl.ac.uk/Mathematics/geomath/level2/fint/fisub2.html

.. du kannst ja versuchen, das nachzuvollziehen und dann überall wo 4 (für r²) steht allgemein r² setzen ( also r=2)
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