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Quadratzahlenbeweis
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Katimh
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Anmeldungsdatum: 19.10.2004
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2004 - 15:07:24    Titel: Quadratzahlenbeweis

Kann mir jemand helfen? Hab hier noch immer 2 Aufgaben, die ich nicht kann... hat jemand zumindest einen Ansatz oder so?

Aufgabe 1: Sei n>/=3 eine natürliche Zahl. Beweise, daß zwischen n und n! stets eine Primzahl liegt.

Aufgabe 2: Seien a>/=b>/=1 teilerfremde Zahlen. Beweise, daß die Annahme, daß a^2-b^2 eine Quadratzahl ist, impliziert, daß a+b und a-b beide Quadratzahlen oder das Doppelte von Quadratzahlen sind.
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 01:38:43    Titel:

Ich glaube Aufgabe 1 lässt sich nicht lösen, zumindest nicht ohne spezielle Kenntnisse von Primzahlen. Ich habe gerade mal nach Verfahren gesucht, um eine neue Primzahl zu bestimmen. Das einzige, das immer eine Primzahl liefert ist die Multiplikation aller Primzahlen, die kleiner als eine Primzahl sind und die Addtition von 1.

Ich bin aber davon überzeugt, dass die Behauptung richtig ist.

Wenn man zeigen könnte, dass zwischen (n-1)! und n! eine Primzahl liegt, dann wäre die Aufgabe gelöst. Also dass eine der folgenden Zahlen eine Primzahl ist:
(n-1)! + 0
(n-1)! + 1
(n-1)! + 2
...
(n-1)! + (n-1)! (n-1)
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 02:25:27    Titel:

Dann versuche ich mich mal an der 2. Aufgabe:

Ich nehme an, dass a+b = c*d²
und a-b = c*e² sind, wobei c, d und e ganze Zahlen sind.
(a+b)*(a-b) = a²-b² = c²*d²*e² also eine Quadratzahl.

a-b = c*e² nach a aufgelöst und eingesetzt in a+b = c*d² ergibt:
c*e² + b + b = c*d²
2*b = c*(d²-e²)
2*b/c = d²-e²
Da rechte Seite ganzzahlig ist, muss auch die linke Seite ganzzahlig sein, also c muss entweder 1, 2 oder ein Teiler von b sein.

Analog folgt nach Auflösen von a-b = c*e² nach b und Einsetzen in a+b = c*d²:
2*a/c = d²+e²
c muss wiederum 1, 2 oder ein Teiler von a sein. Da a und b teilerfremt sind folgt, dass c 1 oder 2 ist.

Somit ist die Aussage bewiesen. Für teilerfremde natürliche Zahlen a und b gilt, dass wenn a²-b² eine Quadratzahl ist, dann sind a+b und a-b Quadratzahlen oder das Doppelte von Quadratzahlen.
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