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Differentialgleichungen; Lösungsmenge bestimmen
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math_SD
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
Beiträge: 1166

BeitragVerfasst am: 30 Dez 2006 - 18:35:44    Titel:

mathefan hat folgendes geschrieben:
Nach Trennung der Variablen schreibt man das normalerweise nicht so:
x/dx=(-2y+1)/dy
sondern so:
(1/(1-2y))*dy = (1/x)*dx ==> Lösung: y=1/2 - k / x² Wink


Ja, gut, hast ja blos den Kehrwert gebildet und dann die DIfferentiale ausgeklammert, hätt' ich ja normalerweise auch gemacht, aber hab's den Schritt weggelassen...da man gleich die INtegration erledigen konnte...
So, jetzt zum nachvollziehen deiner Lösung:
Ist ja im Grunde dasselbe, nur k= - 1/2c^-2, ne? Aber warum machst du ein unnötiges - dahin? y= 1/2 + k/x^2 mit k= 1/2*c^-2 geht doch genauso.
Zitat:

Nächste:
<=> y=((3/2)x² + k)^(1/3) mit y>0 .... wieso y>0?

Keine Ahnung...^^ Sagen wir dann halt mit k € R^+ , dann ist y>0

Zitat:
Zitat:
Bei der folgenden Aufgabe allerdings komme ich nicht weiter:
y * e^x + y'*e^x = -e^-x

deine bisherigen, einfachen Aufgaben konntest du , wie du schreibst, so lösen:
"Habe halt die Variablen getrennt: "...

Nun solltest du deinen berühmten Geist hervorholen um damit zu erkennen, dass es sich hier um
eine einfache DGL des Typs "erster Ordnung, inhomogen" handelt.
.. noch nie gehört?..
dann wird dir das Maß von Geist, das nun erforderlich ist, nahelegen, dass es langsam mal an der Zeit wäre, ein
entsprechendes Lehrbuch zu konsultieren um dich über notwendige Grundkenntnisse zu informieren.. Wink

Ok, dann wollen wir mal schauen, ob inhomogene Gleichungen auch zu lösen sind(von mir). Hab zwar immernoch kein Lehrbuch, aber das I-net müsste mir eigenltich geholfen haben...
Also:
y' + f(x)*y = g(x)
y* e^x + y'*e^x= -e^-x <=> y+y'= - e^(-2x) mit x € R
Die allgemeine Lösung y_A dieser Dgl wäre y_A= y_h + y_p, wobei die SUmmanden jeweils der homogenen und der partikulären Lösung der Dgl entsprechen. ALso ist
y_h: y+y'= 0 <=>y+ dy/dx=0 <=>1/y * dy = -1 * dx
Nach INtegration erhalten wir
ln(y)=-x + C
y_h = e^-x * C_1 mit x,C_1=e^C € R
Variation der Konstante:
y_P = u(x) * e^-x
Nun ist u'(x)= g(x)/(e^-x) = (-e^(-2x))/e^-x= -e^-x und entsprechend u(x)=e^-x und damit y_P = e^-x * e^-x= e^(-2x).
y_A=y_h + y_P = C_1*e^-x + e^(-2x) mit x,C_1 € R

und um sicher zu gehen eine weitere:
(y'*e^x - y*e^x)/e^(2x) = x ; x€R
<=> y'*e^x - y* e^x = x* e^(2x) <=>y' - y = x*e^x
y_h : dy/dx - y = 0 <=> 1/y * dy = 1 *dx nach INtegration:
ln(y)=x+C <=> y_h=C_1*e^x
y_p = u(x)*e^x ; u'(x)=(x*e^x)/e^x=x =>u(x) = (1/2)x^2 daraus folgt
y_p = (1/2)x^2*e^x und
y_A = c* e^x + (1/2)x^2*e^x <=> y_A = e^x[c + (1/2)*x^2]

Sind die so richtig? Vom Inhalt, sowie Schreibweise ?

Und könnte bitte auch der letzte Abschntt meines vorherigen Posts kommentiert werden?
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