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Zähler- & Nennerfunktion
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s51
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Anmeldungsdatum: 13.12.2005
Beiträge: 129

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2006 - 11:25:50    Titel: Zähler- & Nennerfunktion

f(x) = 2x^2 - 1,5x - 5 / X^2 - 1

Zähler = 2x^2 - 1,5x -5
Nenner = x^2 - 1

Betrachten wir nun die Zählerfunktion Z und die Nennerfunktion N als eigenständige Funktionen.

Die Graphen dieser Funktionen schließen eine Fläche ein. An welcher Stelle hat diese Fläche parallel zur y-Achse ihre maximale Ausdehnung?

Ist es korrekt, wenn ich die Tiefpunkte also Maxima ausrechne und dann N(x) - Z(x) rechne?
Oder was muss man da machen?

Ich bedanke mich für Tipps und Hilfe schoneinmal herzlich im voraus!
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2006 - 11:38:06    Titel: Re: Zähler- & Nennerfunktion

s51 hat folgendes geschrieben:
Tiefpunkte also Maxima


dieses Gleichnis solltest du dir gleich aus dem Kopf schlagen ;-)

Du untersuchst die Hilfsfunktion h(x) = n(x) - z(x) auf Maxima.
Hierbei ist zu beachten, dass du dich auf die Suche nach einer Stelle x=u begibst, wo die Bedingung der max. Ausdehnung erfuellt ist. Beachte aber auch, dass u in dem Intervall liegt, welches durch die beiden Schnittpunkte der Funktionen definiert ist.

Defacto musst du am Ende die Randwerte ebenfalls pruefen, da es ja sein kann, dass dein zuvor berechnetes Maxiumum nur ein lokales, aber kein globales Maximum ist. Es koennte also sein, dass an den Raendern die Abweichung am groessten ist. Deswegen musst du die Randwerte pruefen.

Gruss:


Matthias
s51
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Anmeldungsdatum: 13.12.2005
Beiträge: 129

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2006 - 11:53:53    Titel:

danke dafür =)

das heißt also, dass ich von der Funktion n(x) = -X^2 - 1,5X + 4
die Extremstelle ausrechnen muss ( f'(h(x))=0 ^ f''(h(x)) < 0) ?

Und die Schnittpunkte errechne ich zudem, um später nachprüfen zu können, ob das Ergebnis plausibel ist.
Schnittpuntke muss ich ja nur die Ableitungen von N(x) und Z(x) gleichsetzen und wennse ungleich sind ist es ein Schnittpunkt, sonst Berührpunkt... oder?

noch einmal dicikes thx!
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2006 - 12:05:52    Titel:

die Funktion lautet: h(x) = -x^2 + 1,5x +4

Benenne diese aber nicht auch wie die Nennerfunktion n(x) mit selbiger Variable!

Die Schnittpunkte berechnest du wie folgt:

N(x) = Z(x) --> nach x aufloesen

=> I = [-1,39 ; 2,89]

Berechne nun die Extremstelle von h(x) und pruefe dann, wie es bei h(-1,39) und h(2,89) aussieht.

Gruss:


Matthias
s51
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Anmeldungsdatum: 13.12.2005
Beiträge: 129

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2006 - 15:00:09    Titel:

also, ich habe nachdem ich N(X) = Z(X) nach x aufgelöst habe ebenfalls die gleichen Nullstellen wie Du herausbekommen (pq-Formel).

h(2,886) ist dann = - 0,0171
genauso wie h(-1,386).

Was genau bringen mir nun diese Werte? Die Punkte sind somit Schwelle und Grenze oder?

Der Extrempunkt ist bei (0,75/4,5625) zu finden. Dies scheint auch die richtige Lösung zu sein, wenn ich mir den Graphen anschaue.

Nocheinmal vielen Dank für die Hilfe!
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2006 - 15:09:34    Titel:

ok, die Grenzen sind nicht ganz sauber gerundet, aber man kann erkennen, dass h(2,886) --> 0 und h(-1,386) --> 0.

Somit hast du gezeigt, dass es an den Grenzen keinen Wert gibt, der groesser als das zuvor von dir berechnete Wert des Hochpunktes von h(x) ist.

Somit ist gezeigt, dass es sich bei deinem HP um das absolute Maxiumum handelt, da gilt:

h(2,886) < h(0,75) und h(-1,386) < h(0,75)

Gruss:


Matthias
s51
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Anmeldungsdatum: 13.12.2005
Beiträge: 129

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2006 - 15:13:08    Titel:

okay. dankeschön!
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2006 - 15:19:30    Titel:

vielleicht noch einen Satz zu dem relativen und absoluten Extremum.

Stelle dir mal eine Funktion dritten Grades vor, die einen HP bei HP(1 / 2) hat. Dieser HP ist das relative Maximum der Funktion.

Warum nicht das absolute Maximum der Funktion? Genau, da der Funktionswert bei z.B. x = 3 groesser ist als 2.

Deswegen untersucht man bei den Extremwertaufgaben die Raender um zu zeigen, ob es sich um ein relatives oder absolutes Extremum handelt.
In deinem Fall handelt es sich um das absolute Maximum, dass der Scheitelpunkt der Parabel (und zugleich der HP) den groessten y-Wert der Funktion annimmt.

Gruss:


Matthias
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2006 - 15:27:46    Titel:

Matthias20 hat folgendes geschrieben:
und pruefe dann, wie es bei h(-1,39) und h(2,89) aussieht.


Man muss nicht unbedingt prüfen, ob die Differenz von Z(x) und N(x)
an ihren Schnittpunkten maximal wird Wink
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