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raffnix
Gast






BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 17:30:16    Titel: dgl

Hallo.

Kann mir einer einen ansatz zu dieser dgl sagen!

y - x*y' = 2*x*y^2

ist sie inhomogen?

finde irgendwie auch keine geignete substitution!
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 18:16:12    Titel:

So wie ich das sehe ist sie homogen !
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 18:31:23    Titel:

Hast Du schon versucht, die DGL implizit zu lösen ???
raffnix
Gast






BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 18:34:37    Titel:

Implizit?

mit trennung der variablen?
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 18:53:41    Titel:

Gibt es zu der DGL ein anfangswertproblem ???
raffnix
Gast






BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 18:54:54    Titel:

Nein!
raffnix
Gast






BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 18:58:04    Titel:

Trennung der variablen klappt nicht!
lösungsverfahren für die inhomogene oder homogene dgl ist glaub ich nutzlos!
Ich sehe nicht welche form diese dgl hat.
vielleicht muss ich einen integrierenden faktor finden?
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 18:59:11    Titel:

Das muss man mit einer sehr speziellen Substitution lösen...

ich rechne noch... Kleinen Moment...
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 19:15:03    Titel:

Habs jetzt:

Also wir substituieren z(x) = y(x) / x ; mit x ungleich 0:
y(x) = z(x) * x
y'(x) = z(x) + x * z'(x)

Jetzt stellen wir die DGL etwas um:

y(x) - x * y'(x) = 2 * x * y²(x)
-x * y'(x) = 2 * x * y²(x) - y(x)

und setzen ein:
-x * [z(x) + x * z'(x)] = 2 * x * [z(x) * x]² - [z(x) * x]
-x * z(x) - x² * z'(x) = 2 * x³ * z²(x) - x * z(x) <-- Diese beiden lassen sich kürzen
- x² * z'(x) = 2 * x³ * z²(x) |: x² ; da x ungleich 0
-z'(x) = 2 * x * z²(x)

Jetzt kommt die Trennung der Veränderlichen:

-(dz/dx) = 2 * x * z²(x)
-(dz/z²(x)) = 2*x dx

Beide Seiten integrieren:

INT(-dz/z²(x)) = INT(2*x dx)
1/z(x) = x² + C

Jetzt nach z auflösen:

z(x) = 1/(x²+C)

Dann Resub: z(x) = y(x) / x:

y(x) / x = 1/(x²+C)

Dann nach y(x) auflösen:

y(x) = x/(x²+C)

Und das war's !!!
raffnix
Gast






BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 19:36:09    Titel:

Super !!

wäre nie auf diese substitution gekommen!!
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