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Steigung eines Punktes an einer Funktion (Parameterdar.)
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noch so ein gast
Gast






BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 19:57:55    Titel: Steigung eines Punktes an einer Funktion (Parameterdar.)

Hi!
Ich hab n großes Problem, ich muss morgen an die Tafel um folgende Teilaufgabe zu lösen, aber ich hab selbst nach stundenlangem Grübeln keinen Lösungsansatz gefunden

Die Aufgabe ist:
Gegeben ist folgende Kurve in Parameterdarstellung:
pi entspricht (3,14....)
x(t)=sin(t+(pi/6))
y(t)=cos(3t)

Definiert von 0 bis 1pi

und ich soll nun die Steigung der Funktion an der Stelle t=pi/3 herrausfinden .. und ich bin total ratlos . *heul*
herrausgefunden habe ich lediglich dass der Punkt bei A(1/-1) liegt

schonmal vielen Dank im vorraus Smile
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 20:32:51    Titel:

x(t)=sin(t+(pi/6)) lässt sich nach t auflösen

arcsin(x) = t + pi/6
t = arcsin(x) - pi/6

eingesetzt in
y(t) = cos(3t)
ergibt
y(x) = cos(3 (arcsin(x) - pi/6) )
y(x) = cos(3*arcsin(x) - pi/2 )

mit der Regel cos(a - pi/2) = sin(a) folgt:
y(x) = sin(3*arcsin(x))

Nun muss man y(x) nach x ableiten und den von Dir ermittelten Wert für x (=1) einsetzten.

y'(x) = cos(3*arcsin(x)) * 3 * 1/Wurzel(1-x²)
y'(1) = cos(3*arcsin(1)) * 3 /Wurzel(1-1²)
y'(1) = cos(3*arcsin(1)) * 3 /Wurzel(0)
y'(1) = cos(3*PI/2) * 3 /Wurzel(0)
y'(1) = 0 * 3 * 1/Wurzel(0)
Wie man sieht wird das so nichts.

Also versuchen wir mal den Grenzwert lim x->1 y'(x) zu bestimmen:
lim x->1 cos(3*arcsin(x)) * 3 /Wurzel(1-x²)

Da Zähler und Nenner für den Grenzwert sich zu 0 ergeben, darf der Satz von L'Hospital angewendet werden, der besagt:
lim x->a f(x) = lim x->a g(x)/h(x) = lim x->a g'(x)/h'(x)
Wir bilden also getrennt die Ableitungen von Zähler und Nenner

= lim x->1 [-sin(3*arcsin(x)) * 3 * 1 /Wurzel(1-x²) * 3] / [0,5 * 1 / Wurzel(1-x²) * -2x]
= lim x->1 [-sin(3*arcsin(x)) * 9 /Wurzel(1-x²)] / [ -x / Wurzel(1-x²) ]
= lim x->1 [-sin(3*arcsin(x)) * 9 /Wurzel(1-x²)] * [ -Wurzel(1-x²) / x]
= lim x->1 [sin(3*arcsin(x)) * 9 / x]
= [sin(3*arcsin(1)) * 9 / 1]
= sin(3*PI/2) * 9
= -1 * 9
= -9
noch so ein gast
Gast






BeitragVerfasst am: 30 Nov 2004 - 00:31:52    Titel: Vielen Dank!

Darauf wäre ich nie gekommen..
(und falls doch, hätte ich mich bei diesen Ableitungen garantiert verhaspelt)

Nochmals vielen Dank!

Das einzige Problem wird jetzt nur noch das verständniss des ganzen sein, aber einmal überschlafen müsste das regeln

greetz..
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