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Differentialrechnung - Bestimmung von Funktionen
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Michaela Schafflützel
Gast






BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 23:22:33    Titel: Differentialrechnung - Bestimmung von Funktionen

Hallo

ich habe folgendes Problem:

Die Aufgabe lautet:
Eine Parabel 3. Ordnung hat in P(1/4) eine Tangente parallel zur x-Achse und in Q (0/2) ihren Wendepunkt.
Bestimme die Funktion.

Die Lösung lautet: f(x) = -x^3+3.x+2

Die Lösung hätte ich ja - aber leiter nicht den Lösungsweg

Bitte bitte um Hilfe - ich stehe kurz vor meiner Matheprüfung!!

Danke
Michaela
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 23:35:49    Titel:

Ich hasse es, wenn jemand ein Polynom 3-Grades eine Parabel nennt. Das stimmt einfach nicht. Aber die Welt wird man wohl nicht verändern können Smile

f(x) = ax^3+bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f'''(x) = 6ax + 2b

In P(1,4) befindet sich eine flache Tangente:

f(1) = 4
f'(1) = 0

a+b+c+d = 4
3a+2b + c = 0

In P(0,2) ist ein Wendepunkt

f(0) = 2
f''(0) = 0

d = 2
2b = 0 => b = 0

In a + b + c + d = 4 einsetzen liefert:
a + 0 + c + 2 = 4 => a + c - 2 = 0

In 3a+2b+c = 0 einsetzen liefert
3a + 0 + c = 0 => 3a + c = 0

=> c = -3a => a - 3a - 2 = 0 => -2a - 2 = 0 => a = -1

Einsetzen in c = -3a => c = 3

Korrigiert
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 23:47:55    Titel:

Eine Funktion 3. Ordnung sieht wie folgt aus:
f(x) = ax³+bx²+cx+d
f'(x) = 3ax²+2bx+c
f''(x) = 6ax+2b
f'''(x) = 6a

Eine Tangente parallel zur x-Achse zeigt ein Minimum, ein Maximum oder eine Sattelstelle an. Was wiederum gleichbedeutend ist mit
f'(x) = 0
f'(1) = 0 = 3a+2b+c
Ein Sattelpunkt kann bei einer Funktion 3. Ordnung nur auftreten, wenn sie keine Extrema besitz. Der Sattelpunkt wäre dann auch der Wendepunkt. Da die Wendestelle wo anders liegt muss P ein Extremum sein.
f''(1) <> 0

Im Wendepunkt ist die 2. Ableitung 0 (die erste Ableitung weist hier eine Extremstelle auf).
f''(x) = 0
f''(0) = 0 = 2b => b = 0

Damit vereinfacht sich die Funktion zu:
f(x) = ax³+cx+d

Aus obiger Gleichung
f'(1) = 0 = 3a+2b+c
folgt nun:
f'(1) = 0 = 3a+c

Bis auf das d liegt eine ungerade Funktion vor, die punktsymmetrisch (zum Wendepunkt ist) ist, d.h. es handelt sich um eine punktsymmetrische Funktion, die um d in Richtung der y-Achse verschoben ist. Daraus folgt schon, dass d = 2 ist (wg. den Koordinaten des Wendepunktes).
Damit lässt sich auch die 2. Extremstelle bestimmen:
P an Q gespiegelt ergibt R (-1/0). Da der Funktionswert an dieser Stelle kleiner ist als der des anderen Extremum, ist R ein Minimum und P ein Maximum.

Mit d=2 (f(0) = 2 = d) folgt:
f(x) = ax³+cx+2
f(1) = 4 = a+c+2 => a+c = 2 => a = 2-c

Eingesetzt in obige Gleichung:
f'(1) = 0 = 3a+c = 3*(2-c)+c = 6-2c => c = 3
a = 2-c = -1

f(x) = -x³ + 3x +2
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2004 - 23:56:39    Titel:

An @Thomas_Da: Du brauchst viel zu lange für so was einfaches Smile (mehr als 12 Min)
Gast







BeitragVerfasst am: 30 Nov 2004 - 00:15:03    Titel:

Sorry für Parabel 3. Ordnung - aber diesen Ausdruck verwenden leider unsere Dozenten auf der Hochschule - bin jedoch froh um die Korrektur.

Ausserdem vielen vielen Dank für die super Antworten
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2004 - 00:19:24    Titel:

Eine Parabel ist ja ein besonderer Kegelschnitt per Definition (jetzt abgesehen von der in der Literatur). Eine nichttriviale (d.h. a <> 0) Funktion dritten Grades ist meines Wissens nie ein Kegelschnitt. Die in der Aufgabenstellung ist es auf jeden Fall nicht. Schau mal auf

http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/angeo3.htm
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 30 Nov 2004 - 00:51:41    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
An @Thomas_Da: Du brauchst viel zu lange für so was einfaches Smile (mehr als 12 Min)

Ich bin eben etwas aus der Übung... Wink
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