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f(x) konstant ?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> f(x) konstant ?
 
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Yvonne74
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Anmeldungsdatum: 30.10.2004
Beiträge: 53
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BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 00:14:36    Titel: f(x) konstant ?

Hallo-ich wieder Embarassed

Gegeben ist die Funktion f(x)= arcsinx+3arccosx+arcsin ( 2x wurzel aus 1-x^2), -1<x<1. Zeigen sie, daß f(x) im Intervall ( -1/2 wurzel aus 2, 1/2 wurzel aus 2) konstant ist. Gilt das auch im ganzen Definitionsbereich ????


Danke
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 01:05:38    Titel:

Hallo - ich auch Smile

Wenn eine Funktion konstant ist, dann ist die Steigung an allen Stellen 0 und damit auch ihre Ableitung.
f(x)= arcsinx+3arccosx+arcsin ( 2x * Wurzel(1-x²) )
Mit
[arcsin(x)]' = 1/Wurzel(1-x²)
[arccos(x)]' = -1/Wurzel(1-x²)
ergibt sich:
f'(x) = 1/Wurzel(1-x²) -3/Wurzel(1-x²) + 1/Wurzel(1- [2x * Wurzel(1-x²)]² ) * [2*Wurzel(1-x²) + 2x * 1/2* 1/Wurzel(1-x²) * (-2x)]
Mhm, das ist ja auch nicht besser Sad
Vielleicht kann man das ja noch etwas vereinfachen.
f'(x) = -2/Wurzel(1-x²) + [2*Wurzel(1-x²) -2x²/Wurzel(1-x²)] / Wurzel(1- [2x * Wurzel(1-x²)]² )
f'(x) = -2*Wurzel(1-x²)/(1-x²) + [2*Wurzel(1-x²) -2x²*Wurzel(1-x²)/(1-x²)] / Wurzel(1- [2x * Wurzel(1-x²)]² )
Das wird wohl nichts.

Ich glaube nicht, dass die Funktion konstant ist. Das Gegenteil kann man zeigen dadurch, dass man zwei Punkte im zu untersuchenden Bereich findet, dessen Fkt.-wert nicht gleich sind (oder einen Punkt dessen Steigung nicht 0 ist):
f(0) = arcsin0+3arccos0+arcsin ( 2*0 * Wurzel(1-0²) )
f(0) = 0 + 3*PI/2 + 0 = 3/2 * PI

Da die anderen Fkt.-Werte zu schwer zu berechnen sind, versuche ich es mal mit der Steigung im Punkt 0:
f'(0) = -2*Wurzel(1-0²)/(1-0²) + [2*Wurzel(1-0²) -2*0²*Wurzel(1-0²)/(1-0²)] / Wurzel(1- [2*0 * Wurzel(1-0²)]² )
f'(0) = -2*Wurzel(1) + 2*Wurzel(1) / Wurzel(1)
f'(0) = -2 + 2 = 0 (Das hilft nicht Sad )

Also doch noch mal ein anderer Fkt.-Wert:
f(1/2) = 4,7124 (mit dem Taschenrechner)

Da f(0) = f(1/2) könnte die Fkt. konstant sein

Und wenn ich die Kurve zeichnen lasse, dann sieht sie auch recht konstant aus mit f(x)=4,7.
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 01:55:27    Titel:

f'(x) = 1/Wurzel(1-x²) -3/Wurzel(1-x²) + 1/Wurzel(1- [2x * Wurzel(1-x²)]² ) * [2*Wurzel(1-x²) + 2x * 1/2* 1/Wurzel(1-x²) * (-2x)]
Mit einer Substitution von x = siny folgt 1-sin²y = cos²y folgt:

f'(y) = 1/Wurzel(cos²y) -3/Wurzel(cos²y) + 1/Wurzel(1- [2siny * Wurzel(cos²y)]² ) * [2*Wurzel(cos²y) + 2siny * 1/2* 1/Wurzel(cos²y) * (-2siny)]
f'(y) = 1/cosy -3/cosy + 1/Wurzel(1- [2siny * cosy]² ) * [2*cosy + 2siny * 1/2* 1/cos²y * (-2siny)]
f'(y) = -2/cosy + 1/Wurzel(1- [2siny * cosy]² ) * [2*cosy + 2siny * 1/2* 1/cos²y * (-2siny)]
mit 2siny*cosy = sin(2y)
f'(y) = -2/cosy + 1/Wurzel(1- sin²(2y) ) * [2*cosy + 2siny * 1/2* 1/cos²y * (-2siny)]
mit 1-sin²x = cos²(x)
f'(y) = -2/cosy + 1/Wurzel(cos²(2y) ) * [2*cosy + 2siny * 1/2* 1/cos²y * (-2siny)]
f'(y) = -2/cosy + 1/cos(2y) * [2*cosy + siny * 1/cos²y * (-2siny)]
f'(y) = -2/cosy + 1/cos(2y) * [2*cosy - 2sin²y * 1/cos²y]
f'(y) = -2/cosy + 1/cos(2y) * [2*cosy - 2sin²y/cos²y]
f'(y) = -2cosy/cos²y + 1/cos(2y) * [2*cosy*cos²y/cos²y - 2sin²y/cos²y]
f'(y) = {-2cosy + 1/cos(2y) * [2*cosy*cos²y - 2sin²y] } / cos²y
mit cos(2x) = cos²x-sin²x
f'(y) = {-2cosy + 1/(cos²y-sin²y) * [2*cosy*cos²y - 2sin²y] } / cos²y
f'(y) = {-2cosy + [2*cosy*cos²y - 2sin²y] / (cos²y-sin²y) } / cos²y

Hier komme ich jetzt auch nicht weiter, vielleicht kann das ja jemand anderes, oder habe ich vielleicht einen Fehler gemacht?
Yvonne74
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Anmeldungsdatum: 30.10.2004
Beiträge: 53
Wohnort: Germany-Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 04:11:34    Titel: re

Danke wieder Smile

Entweder kriege ich von Mathe kopfschmerzen oder du mit mir Laughing

Ich verstehe die aufgabe überhaupt nicht-fehler suchen -naja und wenn ich es wollte weiss ich nicht wo ich die bei dir in der rechnung suchen soll Confused
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 10:31:54    Titel:

Auch wenn es sich vielleicht etwas spiessig anhört:

Meinst du nicht, dass deine Konzentration zwischen
00:14 und 04:11 etwas nachlassen wird?

Jockel
Yvonne74
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Anmeldungsdatum: 30.10.2004
Beiträge: 53
Wohnort: Germany-Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 16:59:16    Titel: re

Da war die Konzentration noch gut. Was soll ich denn machen wenn ich lernen muss Confused
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 17:04:46    Titel:

Zitat:

Was soll ich denn machen wenn ich lernen muss


aehm Very Happy ... schlafen oder saufen gehen Question

p.s.:Alkohol hilft nicht beim lernen, aber er bringt spass! Very Happy
Yvonne74
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Anmeldungsdatum: 30.10.2004
Beiträge: 53
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BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 17:12:30    Titel: re

naja-wäre vielleicht besser nur kann ich nicht schlafen wenn ich die aufgaben nicht gemacht habe Confused

saufen-ufff-das lieber nicht - sonst werde ich noch weniger wissen Laughing
Thomas_Da
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BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 20:01:34    Titel:

Ich probiere es noch mal Smile
Dieses Mal substituiere ich gleich in der Ausgangsfunktion:
x = siny
f(x)= arcsinx+3arccosx+arcsin ( 2x * Wurzel(1-x²) )

f(y)= arcsin(siny)+3arccos(siny)+arcsin ( 2*siny * Wurzel(1-sin²y) )
Mit sin²y + cos²y = 1 => cos²y = 1- sin²y
f(y)= arcsin(siny)+3arccos(siny)+arcsin ( 2*siny * Wurzel(cos²y) )
f(y)= arcsin(siny)+3arccos(siny)+arcsin ( 2*siny * cosy )
f(y)= arcsin(siny)+3arccos(siny)+arcsin ( sin(2y) )
f(y)= y+3arccos(siny)+2y
f(y)= 3y+3arccos(siny)

Rücksubstitution führt zu:
f(x)= 3arcsinx+3arccosx = 3*PI/2 (für x zwischen -1/Wurzel(2) und 1/Wurzel(2) (siehe unten))

Wenn eine Funktion konstant ist, dann ist die Steigung an allen Stellen 0 und damit auch ihre Ableitung.
Mit
[arcsin(x)]' = 1/Wurzel(1-x²)
[arccos(x)]' = -1/Wurzel(1-x²)
ergibt sich:
f'(x) = 3/Wurzel(1-x²) - 3/Wurzel(1-x²) = 0


Der letzte Term der Funktion f(x)
arcsin ( 2x * Wurzel(1-x²) ) ist nur definiert für
-1 < 2x * Wurzel(1-x²) < 1 (aus Symmetrie betrachten wir nur die obere Grenze)
2x * Wurzel(1-x²) < 1
4x² * (1-x²) < 1
4x² - 4x^4 - 1 < 0
x^4 - 4x² + 1/4 < 0 (Nach Substitution x²=y, der Nullstellenbestimmung und Rücksubstitution findet man folgende Darstellung)
(x² - 1/2)² < 0
Diese Ungleichung entspricht der Angabe für x in der Aufgabenstellung.
Yvonne74
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Anmeldungsdatum: 30.10.2004
Beiträge: 53
Wohnort: Germany-Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2004 - 13:53:26    Titel: re

Confused Confused Confused Embarassed oooooooo goooootttttt

muss man das alles wissen Smile


Vielen dank Thomas-wieder Smile
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