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Ganzrationale Funktionen
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michaela Schafflützel
Gast






BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 15:18:37    Titel: Ganzrationale Funktionen

Hallo

Kann mir jemand helfen für folgende Aufgabe den Lösungsweg aufzustellen. Ich bekommen so langsam und sicher graue Haare .....Sad

Für welche ganzrationale Funktion f vom Grad 3 mit F(0) = -6 ist die Nullstelle x1=3 gleichzeitig Wendestelle mit der Ableitung 5?

Vielen Dank
Michaela
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 16:13:48    Titel:

Zuerst einmal lautet deine Funktion 3. Grades:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Und du musst nun die Zahlen für a, b, c und d herausfinden.
Das sind 4 Unbekannte, daher brauchst auch 4 Gleichungen. Und deswegen hat dir der Lehrer 4 Informationen über die Kurve gesagt, damit du dir 4 Gleichungen aufstellen kannst.

Nämlich einen Punkt: P(0/6), dann eine Nullstelle: (3/0) und dass diese Nullstelle zugleich der Wendepunkt ist. Und dass die Steigung im Wendepunkt (= Nullstelle) 5 ist. Denn die 1. Ableitung ist die Steigung der Tangente in irgendeinem PUnkt deiner Kurve. Und er hat dir gesagt, dass die STeigung der Tangente im Wendepunkt 5 ist.

f(x) heißt y.
Jeder Punkt hat eine x-Koordinate und eine y-Koordinate.
Die Grundfunktion ist dafür da, dass man sich Punkte der Kurve berechnen kann.

Die 1. Ableitung ist die Steigung der Tangente in jedem beliebigen Punkt der Kurve:
f'(x) heißt Steigung im Punkt (x / und irgendwas)
Wenn du die Extremwerte (Hochpunkt und Tiefpunkt) haben willst, musst f'(x) null setzen, denn die Steigung der Tangente in jedem Hoch- oder Tiefpunkt der Kurve ist null.

Die 2. Ableitung ist die Krümmung der Kurve. Wenn du die Kurve wie eine Straße betrachtest, auf der du mit dem Auto entlangfährst, dann siehst, wo die Kurve rechtsgekrümmt ist und wo sie linksgekrümmt ist.
Dort, wo du von rechts auf links mit dem Lenkrad einschlägst, oder von links auf rechts....dort ist der Wendepunkt.

f''(x) heißt Krümmung der Kurve im Punkt (x/ und irgendwas) - den y-Wert vom Punkt kriegst ja immer, wenn du in f(x) einsetzt, daher gibt man bei den Ableitungen nur noch den x-Wert eines Punktes bekannt.
z.b. f''(3) heißt Krümmung der Kurve im Punkt (3/f(3)).
Wenn für f''(x) eine Minuszahl rauskommt, dann heißt das, dass die Kurve an diesem Punkt rechtsgekrümmt ist. Wenn eine Pluszahl rauskommt, heißt das, dass die Kurve in diesem Punkt linksgekrümmt ist. Wenn für f''(x) null rauskommt, dann ist die Kurve in dem PUnkt weder links noch rechtsgekrümmt....und wo ist der einzige Punkt, wo sie weder links- noch rechtsgekrümmt ist? - Am Wendepunkt, denn das ist der Punkt, wo du das Lenkrad für einen Moment grad hast.
daher: f''(x) = 0 und dann kriegst den Wendepunkt raus.

Daher sind nun deine Gleichungen:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b

1. Gleichung: f(0)= -6 >> d = - 6
2. Gleichung: f(3) = 0 >> 27a + 6b + 3c = 0
3. Gleichung: f''(3) = 0 >> 18a + 2b = 0
4. Gleichung: f'(3) = 5 >> 27a + 6b + c = 5

nun eliminierst du aus der 2. und 4. Gleichung das c, damit dir eine Gleichung mit a und b übrigbleibt.
Die kannst dann unter die 3. Gleichung schreiben und mit Additionsverfahren a oder b rauskriegen, dann zurückeinsetzen und b oder a ausrechnen, dann für a und b in die 2. oder 4. Gleichung einsetzen, damit du c rauskriegst. Und d weißt du ja schon.......d = - 6

Und dann hast deine gesuchte Funktion.

lg katja
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 18:07:25    Titel:

Das ist eine super ausführliche Antwort - vielen Dank
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