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Berührpunkte
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Ratloser
Gast






BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 15:58:38    Titel: Berührpunkte

Hallo Leute,
habe ein Problem!

Wir haben ne Aufgabe bekommen:

"Berechne für die Parabeltangenten durch A die Berührpunkte B1 und B2. Gib auch die Gleichungen der Parabeltangenten in Normalform an."
y=-1/4x²
A(3|-5/4)

Also soll das heißen da laufen zwei tangenten durch den Punkt A und zu gleich durch die Parabel?

Wie sollte ich denn hier vorgehen? Kann mir jemand einen Ansatz oder so geben? Habe gar keine Ahnung wie ich hier weiter komme!

Danke im voraus.
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 16:41:01    Titel:

Ja genau...da laufen 2 Tangenten an die Parabel durch den Punkt A (der nicht auf der Parabel liegt) und du sollst die Berührpunkte auf der Parabel berechnen.

Und das machst so:

Wenn du eine Gerade mit einer Parabel schneidest, dann kannst höchstens 2 Schnittpunkte kriegen (dann wär das eine Sekante), du kriegst einen Schnittpunkt, wenn die Gerade eine Tangente ist und keinen Schnittpunkt, wenn die Gerade außen vorbei läuft, also Passante ist.

Da du höchstens 2 Schnittpunkte kriegen kannst, musst du immer, wenn du Gerade mit einer Parabel schneidest auf eine quadratische Gleichung kommen, denn die hat ja höchstens 2 Lösungen.

Die quadratische Gleichung löst man mit p-q-Formel auf und wenn da 2 Lösungen rauskommen, dann muss der Ausdruck unter der Wurzel positiv sein, wenn nur eine Lösung ( = 1 Schnittpunkt und somit Tangente) rauskommt, muss der Ausdruck unter der Wurzel 0 gewesen sein, wenn keine Lösung (= kein Schnittpunkt, daher Passante) rauskommt, muss der Ausdruck unter der Wurzel eine Minuszahl sein.

Daher stellst dir jetzt mal die Tangentengleichung auf mit allem, was du bisher über die Tangente weißt. Und das ist nicht viel. Du weißt ja bloß einen PUnkt, der auf der Tangente drauf liegt - also A.
Dir fehlt noch die Steigung...

Geradengleichung:
y = mx + b
Punkt A einsetzen und b berechnen:

-5/4 = 3m + b
-5/4 - 3m = b

Daher lautet nun die Tangentengleichung:
y = mx -5/4 - 3m

und die schneidest nun mit der Parabel....also gleichsetzen:

-x²/4 = mx - 5/4 - 3m | die ganze Gleichung mal (-4)

x² = -4mx + 5 + 12m

Nun hast ein x² ein x und Zahlen...also eine quadratische Gleichung, die du nach Potenzen anordnen musst:

x² + 4mx - 5 - 12m = 0 (du musst so tun, als wär m eine Zahl, denn x ist deine Unbekannte)

nun Auflösungsformel anwenden:

x1,2 = -2m +/- sqrt( 4m² + 5 + 12m)

und nun nimmst den Ausdruck unter der Wurzel extra her und setzt ihn null, denn dann hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung, das heißt: dann hast eine Tangente:

4m² + 5 + 12m = 0 | Sad4)

m² + 3m + 5/4 = 0
m1,2 = -3/2 +/- sqrt( 9/4 - 5/4 )
m1 = -1/2
m2 = -5/2

Nun weißt die 2 Steigungen von deinen 2 Tangenten an die Parabel und kannst dir somit die 2 Tangenten aufstellen, denn Punkt (=A) und Steigung reichen aus, damit man sich eine Geradengleichung aufstellen kann.

lg katja
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 16:44:42    Titel:

Danke, ist ja garnicht so schwierig, nachdem mir das jemand erklärt"
Danke für die ausführliche Erklärung"""
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